[论文解读] On Generating functions of Diagonals Sequences of Sheffer and Riordan Number Triangles

Wolfdieter Lang|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 5

一句话总结

该论文利用Lagrange反演公式，推导了Sheffer与Riordan数表中对角线序列的普通生成函数（o.g.f.）的指数生成函数（e.g.f.）。它建立了Sheffer三角形中对角线序列的o.g.f.的e.g.f.的一般公式，并推导出Riordan与Pascal三角形对角线元素乘积的对数生成函数（l.g.f.），在特定情况下得到了分子多项式系数三角形。

ABSTRACT

The exponential generating function of ordinary generating functions of diagonal sequences of general Sheffer triangles is computed by an application of Lagrange's theorem. For the special Jabotinsky type this is already known. An analogous computation for general Riordan number triangles leads to a formula for the logarithmic generating function of the ordinary generating functions of the product of the entries of the diagonal sequence of Pascal's triangle and those of the {Riordan triangle. For some examples these ordinary generating functions yield in both cases coefficient triangles of certain numerator polynomials.

研究动机与目标

• 推导一般Sheffer三角形中对角线序列的普通生成函数（o.g.f.）的指数生成函数（e.g.f.）
• 将该分析扩展至一般Riordan数三角形，重点研究Riordan与Pascal三角形对角线元素乘积的生成函数
• 识别这些对角线序列的o.g.f.的分子多项式对应的系数三角形
• 利用Lagrange反演建立组合数三角形中对角线生成函数的统一框架

提出的方法

• 应用Lagrange反演定理的形式幂级数恒等式形式，推导Sheffer三角形中对角线序列的o.g.f.的e.g.f.
• 利用生成函数关系 $ y = x(1 - t\hat{f}(x)) $ 的复合逆，将e.g.f.表示为Sheffer函数 $ g $ 和 $ \hat{f} $ 的形式
• 对于Riordan三角形，推导Riordan与Pascal三角形对角线元素乘积的o.g.f.的对数生成函数（l.g.f.）
• 利用恒等式 $ \binom{-n}{p} = (-1)^p \binom{p+n-1}{p} $ 处理负上指标的二项式系数，以处理形式幂级数展开
• 依赖系数提取操作 $[a^n] h(a)$ 将生成函数与三角形元素关联
• 证明所得级数在特定情形下自然产生分子多项式的系数三角形

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地推导Sheffer三角形中对角线序列的o.g.f.的e.g.f.？
• RQ2 Riordan三角形与Pascal三角形对角线元素乘积的生成函数结构是什么？
• RQ3 这些乘积的生成函数能否表示为对角线o.g.f.的对数生成函数？
• RQ4 在何种条件下，这些对角线乘积的o.g.f.会产生分子多项式的系数三角形？
• RQ5 Lagrange反演如何促进组合数三角形中对角线序列生成函数的推导？

主要发现

• Sheffer三角形中对角线序列的o.g.f.的e.g.f.由 $ EGDS(y,t) = H(x(t;y)) - H(0) $ 给出，其中 $ H(x) = \int g(x)\,dx $，且 $ x(t;y) $ 是 $ y = x(1 - t\hat{f}(x)) $ 的复合逆
• 对于Jabotinsky型Sheffer三角形，该结果恢复了已知公式，但该方法可推广至所有Sheffer三角形
• 对于Riordan三角形，Riordan与Pascal三角形对角线元素乘积的o.g.f.的对数生成函数为 $ \sum_{d=0}^\infty \frac{y^{d+1}}{d+1} \sum_{p=0}^\infty \binom{d+p}{p} R(d+p,p) t^p $
• 特定示例中，得到了o.g.f.分子多项式的系数三角形，例如Pascal三角形对角线的 $ \sum_{k=0}^d \binom{d}{k}^2 x^k $
• 该方法成功将形式幂级数技巧与组合数三角形联系起来，实现了对角线生成函数的系统计算
• 推导结果证实，分子多项式的系数三角形在Sheffer与Riordan情形下均自然源于生成函数结构