[论文解读] On geodesic mappings of manifolds with affine connection

Josef Mikeš, Irena Hinterleitner|ArXiv.org|May 12, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 65

一句话总结

该论文证明了每个具有仿射联络的 $C^1$ 流形均可全局地通过测地映射映射到一个等仿射流形——即具有对称里奇张量的流形——从而确立了全局射影等仿射性。该构造利用了一个由原始联络与某个 $C^2$ 度量的勒维-奇维塔联络之差导出的全局定义的一形式 $\psi$，确保目标流形为等仿射，并且映射保持测地线。

ABSTRACT

In this paper we prove that all manifolds with affine connection are globally projectively equivalent to some space with equiaffine connection (equiaffine manifold). These manifolds are characterised by a symmetric Ricci tensor.

研究动机与目标

• 通过证明其与等仿射流形射影等价，解决具有仿射联络的流形的全局射影可度量性问题。
• 将先前关于射影等仿射性的局部结果推广到全局设定。
• 为任意 $C^1$ 流形配备仿射联络，提供其到等仿射目标流形的测地映射的显式构造。
• 证明目标流形的里奇张量是对称的，从而确认其为等仿射。
• 通过将问题约化为等仿射几何，统一测地映射与可度量性的研究。

提出的方法

• 在流形 $M$ 上全局构造一个 $C^2$ 黎曼度量 $\tilde{g}$。
• 定义与 $\tilde{g}$ 关联的勒维-奇维塔联络 $\tilde{\nabla}$。
• 通过 $\psi(X) = -\frac{1}{n+1} \text{trace}(Y \mapsto \nabla_X Y - \tilde{\nabla}_X Y)$ 定义一个一形式 $\psi$。
• 利用勒维-奇维塔方程 $\bar{\nabla}_X Y = \nabla_X Y + \psi(X)Y + \psi(Y)X$ 在 $M$ 上定义一个新的仿射联络 $\bar{\nabla}$。
• 通过里奇张量变换公式验证 $\bar{A}_n = (M, \bar{\nabla})$ 为等仿射，即证明 $\bar{Ric}(X,Y) = \bar{Ric}(Y,X)$。
• 通过构造确认从 $A_n$ 到 $\bar{A}_n$ 的映射是测地映射，且 $\bar{A}_n \in C^1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有仿射联络的 $C^1$ 流形是否都能通过测地映射全局映射到一个等仿射流形？
• RQ2 局部射影等仿射性结果是否可推广为全局等价？
• RQ3 是否存在一种显式构造方法，利用 $C^2$ 度量及其勒维-奇维塔联络实现此类测地映射？
• RQ4 在测地映射下，何种条件可确保目标流形的里奇张量为对称？
• RQ5 射影可度量性问题是否可约化为映射到等仿射流形的测地映射问题？

主要发现

• 所有具有仿射联络的 $C^1$ 流形均可全局地通过测地映射映射到一个等仿射流形。
• 所构造的目标流形 $\bar{A}_n$ 具有对称的里奇张量，从而确认其为等仿射。
• 测地映射通过 $C^2$ 度量及其关联的勒维-奇维塔联络实现了显式构造。
• 一形式 $\psi$ 是全局定义的，并确保映射满足勒维-奇维塔方程。
• 里奇张量变换公式 $\bar{Ric}(X,Y) = Ric(X,Y) + n\psi(X,Y) - \psi(Y,X)$ 成立，并导致目标流形中张量的对称性。
• 该结果推广了先前的局部发现，为所有 $C^1$ 仿射流形确立了全局射影等仿射性。