[论文解读] On $(H,\widetilde{H})$-harmonic Maps between pseudo-Hermitian manifolds

Yuxin Dong|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文将伪Hermitian流形之间的$(H,\widetilde{H})$-调和映射定义为水平能量泛函的临界点，推导出CR Bochner公式及Painetz型算子，从而建立Bochner型定理。主要结果包括通过次椭圆热流得到的存在性定理、唯一延拓性质，以及在水平曲率为负的流形上到映射的强刚性结果。

ABSTRACT

In this paper, we investigate critical maps of the horizontal energy functional $E_{H,\widetilde{H}}(f)$ for maps between two pseudo-Hermitian manifolds $(M^{2m+1},H(M),J,θ)$ and $(N^{2n+1},\widetilde{H}(N), \widetilde{J},\widetildeθ)$. These critical maps are referred to as $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps. We derive a CR Bochner formula for the horizontal energy density $|df_{H, \widetilde{H}}|^{2}$, and introduce a Paneitz type operator acting on maps to refine the Bochner formula. As a result, we are able to establish some Bochner type theorems for $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps. We also introduce $(H,\widetilde{H})$-pluriharmonic, $(H,\widetilde{H})$-holomorphic maps between these manifolds, which provide us examples of $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps. Moreover, a Lichnerowicz type result is established to show that foliated $(H,\widetilde{ H})$-holomorphic maps are actually minimizers of $E_{H,\widetilde{H}}(f)$ in their foliated homotopy classes. We also prove some unique continuation results for characterizing either horizontally constant maps or foliated $(H,\widetilde{H})$-holomorphic maps. Furthermore, Eells-Sampson type existence results for $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps are established if both manifolds are compact Sasakian and the target is regular with non-positive horizontal sectional curvature. Finally, we give a foliated rigidity result for $(H,\widetilde{H})$-harmonic maps and Siu type strong rigidity results for compact regular Sasakian manifolds with either strongly negative horizontal curvature or adequately negative horizontal curvature.

研究动机与目标

• 在伪Hermitian流形上定义并研究$(H,\widetilde{H})$-调和映射作为水平能量泛函的临界点。
• 为水平能量密度推导CR Bochner公式，并利用Painetz型算子对其进行改进。
• 通过横截复结构相容性，将$(H,\widetilde{H})$-pluri调和与$(H,\widetilde{H})$-全纯映射定义为$(H,\widetilde{H})$-调和映射的特例。
• 在曲率与拓扑条件下，特别是对于紧致Sasakian流形，证明$(H,\widetilde{H})$-调和映射的存在性结果。
• 在负曲率假设下，建立Lichnerowicz型与Siu型强刚性定理，适用于$(H,\widetilde{H})$-调和映射。

提出的方法

• 利用Tanaka-Webster联络与曲率项，为水平能量密度$|df_{H,\widetilde{H}}|^2$推导CR Bochner公式。
• 引入作用于映射的Painetz型算子，以改进Bochner公式，并分析其谱性质。
• 通过横截复结构相容性，定义$(H,\widetilde{H})$-全纯与$(H,\widetilde{H})$-pluri调和映射。
• 构造次椭圆热流方程$\frac{\partial f_t}{\partial t} = \tau_H(f_t)$，初始映射为$h$，将问题转化为局部坐标系下的PDE系统求解。
• 利用映射$\rho(y) = y - \Pi(y)$将解投影到目标流形上，证明$\int_M |\rho(u)|^2 dv_\theta$关于时间非增。
• 应用复合律与曲率恒等式，推导$\rho(u)$的演化方程，表明若$h(M) \subset N$，则对所有$t$有$u(x,t) \in N$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，紧致Sasakian流形之间存在$(H,\widetilde{H})$-调和映射？
• RQ2 $(H,\widetilde{H})$-全纯映射何时为水平能量泛函的极小化者？
• RQ3 $(H,\widetilde{H})$-调和映射具有何种唯一延拓性质？它们如何刻画水平常值性或叶状全纯性？
• RQ4 对于具有非正或强负水平曲率的流形，可建立哪些$(H,\widetilde{H})$-调和映射的刚性定理？
• RQ5 次椭圆热流方法如何确保收敛至$(H,\widetilde{H})$-调和映射？

主要发现

• 为水平能量密度推导出CR Bochner公式，使能够分析曲率对$(H,\widetilde{H})$-调和映射的影响。
• 引入Painetz型算子后，可实现更精细的Bochner型定理，将曲率与调和性联系起来。
• 证明了叶状$(H,\widetilde{H})$-全纯映射是其叶状同伦类中水平能量泛函的极小化者，确立了Lichnerowicz型结果。
• 证明了唯一延拓定理，其特征为水平常值映射或叶状$(H,\widetilde{H})$-全纯映射。
• 建立了Eells-Sampson型存在性结果：若两流形均为紧致Sasakian流形且目标流形具有非正水平截面曲率，则$(H,\widetilde{H})$-调和映射存在。
• 对具有强负或充分负水平曲率的紧致正则Sasakian流形，证明了叶状刚性与Siu型强刚性结果。