[论文解读] On hypersurfaces of positive reach, alternating Steiner formulae and Hadwiger's Problem

Sebastian Scholtes|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Point processes and geometric inequalities被引用 5

一句话总结

该论文证明了闭超曲面具有正曲率当且仅当其属于 $C^{1,1}$ 类，并为这类超曲面建立了新的交替施瓦茨公式。此外，论文进一步证明了任何满足交替施瓦茨公式的超曲面必具有正曲率，并为凸集的哈德维格问题提供了新解法，包括平均宽度梯度流的长期存在性。

ABSTRACT

We give new characterisations of sets of positive reach and show that a closed hypersurface has positive reach if and only if it is of class $C^{1,1}$. These results are then used to prove new alternating Steiner formulæ for hypersurfaces of positive reach. Furthermore, it will turn out that every hypersurface that satisfies an alternating Steiner formula has positive reach. Finally, we provide a new solution to a problem by Hadwiger on convex sets and prove long time existence for the gradient flow of mean breadth.

研究动机与目标

• 通过新的几何与分析准则表征正曲率集。
• 建立超曲面正曲率与 $C^{1,1}$ 正则性之间的等价性。
• 推导并证明正曲率超曲面的交替施瓦茨公式。
• 解决关于凸集与平均宽度流的哈德维格问题。
• 证明交替施瓦茨公式的存在性蕴含正曲率。

提出的方法

• 引入正曲率集的两种新表征：一种基于内、外平行集的交替施瓦茨公式，另一种基于平行集的半群型性质。
• 应用基尔茨布鲁恩定理扩展利普希茨映射，并利用面积公式计算平行集的豪斯多夫测度。
• 利用参数化映射的雅可比行列式行列式，以主曲率表示体积展开式。
• 利用超曲面的度量张量与曲率张量，将雅可比行列式行列式表示为基本对称函数的主曲率。
• 通过在边界上积分曲率积分推导施瓦茨公式，将其与 quermaßintegrals $W_k(A)$ 关联。
• 对正曲率集应用高斯-博内定理，将总曲率与欧拉示性数及拓扑不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 除了经典的施瓦茨公式外，哪些条件可表征正曲率集？
• RQ2 超曲面的 $C^{1,1}$ 正则性是否等价于其正曲率？
• RQ3 非凸集的内平行集（负半径）是否可将施瓦茨公式以多项式形式扩展？
• RQ4 交替施瓦茨公式的存在性是否蕴含正曲率？
• RQ5 凸集的平均宽度梯度流的长期行为如何？

主要发现

• 闭超曲面具有正曲率当且仅当其属于 $C^{1,1}$ 类。
• 交替施瓦茨公式对所有 $s \in (-r, r)$ 成立，当且仅当边界具有正曲率。
• 当边界具有正曲率时，平行集 $A_s$ 的体积在 $t \in (-r, r)$ 上是 $t$ 的多项式，其系数为 $W_k(A_s)$。
• 平均宽度梯度流存在对所有时间，解决了哈德维格问题中的长期悬案。
• 当 $n=2$ 时，$W_1(K) = \frac{1}{2}\mathcal{H}^1(\partial K)$；当 $n=3$ 时，$W_2(K) = \frac{1}{3}\int_{\partial K} H\, d\mathcal{H}^2$，将 quermaßintegrals 与平均曲率关联。
• 存在类高斯-博内公式：$\int_{\partial A} K_G\, d\sigma = n\omega_n \chi(A)$，该公式对正曲率集成立，且无需奇数维条件。