[论文解读] On infinite-dimensional hierarchical probability models in statistical inverse problems

Tapio Helin|ArXiv.org|Jul 30, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于周期性信号统计反问题的新型无限维分层贝叶斯模型，采用非高斯先验以在条件均值重建中保持边缘特征。证明了在离散化更精细时后验分布和CM估计的弱收敛性，数值结果证实随着维度增加，重建结果保持稳定且边缘清晰。

ABSTRACT

In this article, the solution of a statistical inverse problem $M = AU+\mathcal{E}$ by the Bayesian approach is studied where $U$ is a function on the unit circle $\mathbb{T}$, i.e., a periodic signal. The mapping $A$ is a smoothing linear operator and $\mathcal{E}$ a Gaussian noise. The connection to the solution of a finite-dimensional computational model $M_{kn} = A_k U_n + \mathcal{E}_k$ is discussed. Furthermore, a novel hierarchical prior model for obtaining edge-preserving conditional mean estimates is introduced. The convergence of the method with respect to finer discretization is studied and the posterior distribution is shown to converge weakly. Finally, theoretical findings are illustrated by a numerical example with simulated data.

研究动机与目标

• 开发一种用于无限维函数空间中边缘保持型贝叶斯反演的非高斯分层先验模型。
• 建立当离散化趋于精细时后验分布和条件均值估计的理论收敛性。
• 解决总变差先验在高维有限差分近似中边缘保持特性不稳定的难题。
• 证明所提模型在分辨率不断提高时仍能保持边缘保持性和稳定性，且无需人为调参。

提出的方法

• 提出一种分层先验结构，其中信号 $ U $ 与一个潜在精度场 $ V $ 联合建模，$ V $ 控制局部平滑度和边缘检测。
• 对 $ V $ 使用非高斯先验，具体为对数高斯或类似重尾分布，以在后验中诱导稀疏性并保持边缘。
• 通过贝叶斯定理推导后验分布，基于有限维离散化模型 $ M_{kn} = A_k U_n + \tilde{\nu}_k $，其中 $ A $ 为平滑算子，$ \tilde{\nu}_k $ 为高斯噪声。
• 使用马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）采样计算条件均值估计 $ u^{CM}_{kn} = \text{E}[U_n | M_{kn} = m] $，采用带自适应提议的Metropolis-Hastings算法。
• 在先验参数 $ \epsilon $ 的适当缩放下，分析后验测度 $ \tilde{\nu}_{kn} $ 在 $ n, k \to \infty $ 时的弱收敛性。
• 采用两级离散化：$ n $ 用于信号 $ U_n $，$ k $ 用于数据 $ M_k $，其中 $ A_k $ 为算子 $ A $ 的投影。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非高斯先验的分层贝叶斯模型是否能在无限维反问题中确保边缘保持型重建？
• RQ2 当信号和数据的离散化趋于精细时，后验分布是否弱收敛？
• RQ3 在分辨率不断提高时，条件均值估计是否保持稳定并与真实信号一致？
• RQ4 先验参数 $ \epsilon $ 在控制边缘锐度和收敛行为方面起什么作用？
• RQ5 该方法能否避免在高维有限差分近似中总变差基重建出现的边缘保持特性丧失问题？

主要发现

• 在先验参数 $ \epsilon $ 的适当缩放下，后验分布弱收敛至无限维设定下的极限测度。
• 即使采用非高斯先验，条件均值估计 $ u^{CM}_{kn} $ 在 $ n \to \infty $ 时仍保持稳定，并收敛至一个定义良好的重构算子。
• 数值结果表明，$ u^{CM}_{kn} $ 中的边缘锐度由 $ \epsilon $ 控制，$ \epsilon $ 越小，边缘越清晰，且 $ v^{CM}_{kn} $ 越平滑。
• 当 $ N = 256 $ 时，$ \epsilon = 3 \times 10^{-4} $ 的MCMC计算耗时约53.7小时，表明在中等维度下具有计算可行性。
• CM估计 $ u^{CM}_{kn} $ 即使在显著噪声下也能紧密逼近真实信号 $ u $，偏差极小且间断点得以保持。
• 随着 $ N $ 增加，潜在场 $ v^{CM}_{kn} $ 变得更平滑，表明 $ v $ 可能不逐点收敛，但其控制 $ U $ 正则性的作用得以保持。