[论文解读] On Isodual Cyclic Codes over Finite Fields and Finite Chain Rings: Monomial Equivalence

Aicha Batoul, Kenza Guenda+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究有限链环上的循环等距码，基于生成多项式、域的特征和码长，建立了其存在的条件。将双射码构造推广至有限链环，并通过剩余域上双射码的Hensel提升，提供了构造等距码与自对偶码的显式方法。关键结果表明，在特定代数条件下，码与其对偶码之间存在单式等价。

ABSTRACT

This paper present the construction cyclic isodual codes over finite fields and finite chain rings. These codes are monomially equivalent to their dual. Conditions are given for the existence of cyclic isodual codes. In addition, the concept of duadic codes over finite fields is extended to finite chain rings. Several constructions of isodual cyclic codes and self-dual codes are given.

研究动机与目标

• 将双射码理论从有限域推广至有限链环。
• 研究有限链环上循环等距码的存在性与结构性质。
• 通过双射码的Hensel提升，提供等距码与自对偶码的显式构造。
• 在有限链环上建立循环码与其对偶码之间的单式等价关系。
• 将有限域上等距码的已知结果推广至更一般的有限链环设置。

提出的方法

• 利用有限链环上循环码的结构定理，通过将 $x^n - 1$ 分解为两两互素多项式的乘积来表示码。
• 应用Hensel引理由剩余域 $\mathbb{F}_q$ 上的双射码提升至有限链环 $R$ 上的码。
• 采用单式变换与互反多项式分析码的对偶性与等价性。
• 利用乘法阶 $\text{ord}_n(q)$ 与二次剩余条件，确定双射码的存在性。
• 应用齐次权的等距性质，以在单式等价下保持码的结构。
• 通过形如 $(x^{2^{a-1}} \pm 1) \prod g_i(\alpha^{-k}x)$ 的生成多项式构造等距码，其中 $\alpha$ 是 $R^*$ 中的 $2^a$-单位根。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有限链环上存在循环等距码？
• RQ2 如何将有限域上的双射码提升至有限链环，以生成等距码？
• RQ3 分裂自同态 $\mu_{-1}$ 在确定码与其对偶码之间单式等价关系中起什么作用？
• RQ4 互反多项式与Hensel提升的性质如何影响链环上循环码的对偶性？
• RQ5 能否通过代数数论与多项式分解，在有限链环上系统地构造自对偶码与等距码？

主要发现

• 当剩余域存在长度为 $m$ 的奇类双射码对时，有限链环上长度为 $2^a m$ 的循环等距码存在。
• 在特定条件下，$\mathbb{F}_q$ 上双射码的Hensel提升在 $R$ 上生成的循环码，与其对偶码单式等价。
• 当分裂由 $\mu_{-1}$ 给出时，由 $(x^{2^{a-1}} - 1)\prod g_i(\alpha^{-k}x)$ 生成的码的对偶码，单式等价于由 $(x^{2^{a-1}} + 1)\prod g_j(\alpha^{-k}x)$ 生成的码（$i \neq j$）。
• 当 $R = \mathbb{Z}_{25}$，$m = 11$，$q = 5$ 时，显式构造出长度为 22、最小汉明距离分别为 6 和 8 的等距循环码。
• 互反多项式运算在单式等价下保持对偶性结构，从而可通过 $C = \langle (x-1)g_i(x), \gamma g_i(x)g_j^*(x) \rangle$ 构造自对偶码。
• 当 $n \equiv -1 \pmod{4}$ 且 $q$ 是模 $n$ 的二次剩余时，双射码存在，其提升在 $\mathbb{Z}_4$ 及其他链环上生成等距码。