[论文解读] On Isosystolic Inequalities for T^n, RP^n, and M^3

K. Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 49被引用 6

一句话总结

本文为满足最大 $\field{Z}/2\mathbb{Z}$-上同调上积长度的有限覆叠的闭 $n$-流形 $M$ 建立了一个精确的等周不等式：$\operatorname{Sys}(M,g)^n \leq n! \cdot \operatorname{Vol}(M,g)$。该不等式推广了 Burago-Hebda 和 Guth 的结果，适用于 $T^n$、$\mathbb{R}P^n$ 以及大多数闭本质 3-流形，并为这类流形提供了统一的常数 $C = n!$。

ABSTRACT

If a closed smooth n-manifold M admits a finite cover whose Z/2Z-cohomology has the maximal cup-length, then for any riemannian metric g on M, we show that the systole Sys(M,g) and the volume Vol(M,g) of the riemannian manifold (M,g) are related by the following isosystolic inequality: Sys(M,g)^n \leq n! Vol(M,g). The inequality can be regarded as a generalization of Burago and Hebda's inequality for closed essential surfaces and as a refinement of Guth's inequality for closed n-manifolds whose Z/2Z-cohomology has the maximal cup-length. We also establish the same inequality in the context of possibly non-compact manifolds under a similar cohomological condition. The inequality applies to (i) T^n and all other compact euclidean space forms, (ii) RP^n and many other spherical space forms including the Poincaré dodecahedral space, and (iii) most closed essential 3-manifolds including all closed aspherical 3-manifolds.

研究动机与目标

• 为一大类闭 $n$-流形建立一个常数较小的统一等周不等式。
• 通过在上同调条件下将 Guth 不等式中的大常数替换为 $n!$，对其加以改进。
• 在类似上同调假设下，将不等式推广至非紧流形。
• 通过等周不等式的存在性来刻画本质流形，特别是在三维情形。
• 确定 $T^n$、$\mathbb{R}P^n$ 以及大多数闭本质 3-流形的最优等周常数。

提出的方法

• 利用有限覆叠 $\hat{M}$ 的 $\field{Z}/2\mathbb{Z}$-上同调中最大上积长度作为拓扑条件，以保证等周不等式的存在性。
• 应用 Mayer-Vietoris 序列，从 $\hat{Q}^*$ 和 $R^*$ 的局部覆叠构造 $\hat{M}$，确保上同调条件得以保持。
• 利用闭流形中上同调长度由最短非同伦零的测地线环实现的事实。
• 通过素分解及对 $S^2 \rtimes S^1$、路易斯空间和球面空间形式等分量的分析，将问题约化至本质流形。
• 利用关于连通和中体积与上同调长度行为的已知结果，特别是 $V_{-k} = \#_k(S^2 \rtimes S^1)$，证明非本质流形不满足等周不等式。
• 通过上同调与几何论证，建立不等式 $\operatorname{Sys}(M,g)^n \leq n! \cdot \operatorname{Vol}(M,g)$，其中 $n!$ 是满足上积长度条件的流形类的最优常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有最大 $\field{Z}/2\mathbb{Z}$-上同调上积长度的流形建立一个常数较小的统一等周不等式？
• RQ2 不等式 $\operatorname{Sys}(M,g)^n \leq n! \cdot \operatorname{Vol}(M,g)$ 是否对 $T^n$、$\mathbb{R}P^n$ 以及大多数闭本质 3-流形成立？
• RQ3 具有最大上积长度的有限覆叠在决定等周不等式精确性方面起什么作用？
• RQ4 对于 $T^n$ 和 $\mathbb{R}P^n$ 等流形，最优等周常数 $C = n!$ 是否可实现？
• RQ5 是否存在未被主定理覆盖的本质 3-流形？该不等式能否以小常数推广至这些流形？

主要发现

• 本文证明了，对于任意满足存在有限覆叠 $\hat{M}$ 且具有最大 $\field{Z}/2\mathbb{Z}$-上同调上积长度的闭 $n$-流形 $M$，有 $\operatorname{Sys}(M,g)^n \leq n! \cdot \operatorname{Vol}(M,g)$。
• 该不等式对 $T^n$ 和 $\mathbb{R}P^n$ 是精确的，且在给定上同调条件下，$n!$ 是这些流形的最优等周常数。
• 该结果推广并改进了 Burago-Hebda 对本质曲面的不等式以及 Guth 对具有最大上积长度的 $n$-流形的不等式。
• 在相同上同调假设下，该不等式可推广至非紧流形。
• 满足该不等式的流形类包括所有紧致欧几里得空间形式、$\mathbb{R}P^n$、许多球面空间形式（包括庞加莱十二面体空间），以及大多数闭本质 3-流形。
• 在三维情形，该不等式对所有闭的单连通 3-流形以及所有不可约 3-流形（不与 $S^2 \times S^1$、$S^2 \rtimes S^1$ 或奇数阶基本群的路易斯空间同胚）均成立。