[论文解读] On jump-diffusion processes with regime switching: martingale approach

Antonio Di Crescenzo, Nikita Ratanov|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于鞅的方法来建模状态切换的跳跃扩散过程，其中参数在随机时间点切换。通过伏尔泰拉方程推导出最小熵鞅测度（MEMM），表明与Lévy过程不同，在此状态切换设定下，Esscher变换无法得到MEMM，且由于熵动力学的非线性特性，最优测度依赖于时间 horizon。

ABSTRACT

We study jump-diffusion processes with parameters switching at random times. Being motivated by possible applications, we characterise equivalent martingale measures for these processes by means of the relative entropy. The minimal entropy approach is also developed. It is shown that in contrast to the case of Lévy processes, for this model an Esscher transformation does not produce the minimal relative entropy.

研究动机与目标

• 刻画具有状态切换的跳跃扩散过程的等价鞅测度。
• 为这一类非马氏、非Lévy过程发展最小熵鞅测度（MEMM）。
• 证明在该模型中，Esscher变换无法产生最小相对熵测度，而这一点在Lévy过程中成立。
• 表明最小熵测度依赖于时间 horizon，与标准Lévy模型不同。
• 推导并求解在状态切换下熵最小化问题的伏尔泰拉型方程。

提出的方法

• 将过程建模为确定性时变漂移、扩散和由半马氏切换过程驱动的跳跃分量的组合。
• 应用Girsanov定理，在物理概率测度下推导等价鞅测度。
• 定义相对熵，并通过熵函数的变分法方法表述最小化问题。
• 推导出一组伏尔泰拉积分方程，以求解使熵最小化的最优测度参数（λ₁*, λ₂*）。
• 利用熵泛函的二阶导数证明解的唯一性与凸性。
• 分析对称与非对称情形，比较不同参数配置下MEMM的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为状态切换的跳跃扩散过程唯一确定最小熵鞅测度？
• RQ2 在该状态切换模型中，Esscher变换是否能产生最小相对熵测度？
• RQ3 时间 horizon 如何影响该非Lévy过程中最小熵测度？
• RQ4 熵函数的结构及其对切换强度与跳跃参数的依赖关系为何？
• RQ5 对称与非对称参数设定如何影响最优测度与熵最小化？

主要发现

• 对于状态切换的跳跃扩散模型，最小熵鞅测度（MEMM）唯一存在且可确定。
• 与Lévy过程不同，由于无法调节切换强度，Esscher变换在此模型中无法产生MEMM。
• 最优测度参数 λ₁* 和 λ₂* 依赖于时间 horizon，表明最小熵并非时间齐次。
• 在对称情形（λ₁=λ₂, σ₁=σ₂, c₁=−c₂, h₁=−h₂）下，MEMM退化为与时间无关的常数测度。
• 熵函数 H₁(t) 和 H₂(t) 在时间上呈非线性关系，与标准Lévy模型中观察到的线性行为相矛盾。
• 在给定条件下，熵最小化问题的解通过一组伏尔泰拉方程获得，且该方程具有唯一解。