[论文解读] On $k$-free-like groups

A. Yu. Olshanskii, Mark Sapir|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文引入并表征了 $k$-free-like 群——即关于 $k$-元素生成集，其凯勒图的 Cheeger 常数有统一有界且围长可任意大的有限生成群。利用小扩张理论以及关于双曲群与扭群的结果，作者为所有 $k \geq 2$ 显式构造了非自由、有限表示与非有限表示的 $k$-free-like 群，解决了关于此类群在自由群之外是否存在的问题。

ABSTRACT

A $k$-free like group is a $k$-generated group $G$ with a sequence of $k$-element generating sets $Z_n$ such that the girth of $G$ relative to $Z_n$ is unbounded and the Cheeger constant of $G$ relative to $Z_n$ is bounded away from 0. By a recent result of Benjamini-Nachmias-Peres, this implies that the critical bond percolation probability of the Cayley graph of $G$ relative to $Z_n$ tends to $1/(2k-1)$ as $n o \infty$. Answering a question of Benjamini, we construct many non-free groups that are $k$-free like for all sufficiently large $k$.

研究动机与目标

• 解决本杰明就 $k=2,3$ 时 $k$-free-like 但非自由群的存在性所提出的问题。
• 将已知结果（即双曲群在 $k \geq m+1$ 时为 $k$-free-like，其中 $m$ 为生成元数）扩展至包含扭群与非初等情形。
• 通过 $k$-几乎恒等式概念，建立群为 $k$-free-like 的必要与充分条件。
• 表明即使围长有界，群仍可能满足非平凡恒等式，从而反驳先前假设。
• 通过证明 $k$-free-like 群可使临界渗滤阈值 $p_c$ 任意接近理论最小值 $\frac{1}{2k-1}$，在渗滤理论中提供应用。

提出的方法

• 通过在自由群上精心选择关系式，利用小扩张理论构造 $k$-free-like 群，以确保围长较大且 Cheeger 常数有统一下界。
• 使用群 $\hat{H}$（HNN扩张与楔形积的极限）构造一个二生成元的非自由群，其 Cheeger 常数有统一有界且围长无界。
• 应用奥尔什安斯基（Olshanskii，1991）关于间隙双曲群与扭群的结果，构造具有所需性质的示例。
• 采用 $k$-几乎恒等式（即在所有生成元 $k$-元组上消失的字）的概念，以表征围长有界的群。
• 利用非初等双曲群的统一非可均性（来自 [ABLRS]）确保 Cheeger 常数始终远离零。
• 利用如下事实：若所有生成元的 $k$-元组满足 $x_i^n = 1$（对某个 $n$），则围长有界于 $n$，从而将其与 $k$-几乎恒等式的存在性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在非自由的 $k$-free-like 群，特别是当 $k=2,3$ 时？
• RQ2 非初等双曲群是否可在 $k$ 接近生成元数时为 $k$-free-like？
• RQ3 $k$-生成群中，围长有界与 $k$-几乎恒等式存在的关系为何？
• RQ4 扭群是否可以为 $k$-free-like？若可以，其条件为何？
• RQ5 $k$-free-like 群的临界渗滤阈值 $p_c$ 能在多大程度上接近理论最小值 $\frac{1}{2k-1}$？

主要发现

• 定理 1 通过小扩张理论，构造了一个二生成元、非自由、有限表示的群，该群对所有 $k \geq 2$ 均为 $k$-free-like。
• 定理 2 表明每个非虚拟循环的 $m$-生成双曲群，对所有 $k \geq m+1$ 均为 $k$-free-like，且其无扭情形对 $k \geq m$ 成立。
• 定理 3 利用奥尔什安斯基定理 39.4 的构造，构造了一个二生成元的扭群，使其对所有 $k \geq 3$ 均为 $k$-free-like。
• 本文证明：一个群在所有 $k$-元素生成集上围长有统一有界，当且仅当其满足一个非平凡的 $k$-几乎恒等式。
• 本文提供了一个反例，反驳了‘围长有界即意味着存在非平凡恒等式’的观念：一个围长有界的群仍可能包含非交换自由子群且满足无非平凡恒等式。
• 结果表明，通过在传递图上的渗滤理论应用，$k$-free-like 群的 $p_c$ 可任意接近 $\frac{1}{2k-1}$，即最小可能值。