[论文解读] On Lepowsky-Wilson's Z-algebra

Yuji Hara, M. Jimbo+3 more|ArXiv.org|May 22, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了 Lepowsky-Wilson 的 ${\mathcal{Z}}$-代数作为变形 Virasoro 代数的极限情形而出现，从而实现了对任意水平 $k \neq -2$ 的 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 的主分次兼容的自由场实现。该构造使用了三个玻色场、顶点算符和筛子电流，给出了互换算符和迹的显式公式，这些公式满足椭圆 Knizhnik-Zamolodchikov 方程。

ABSTRACT

We show that the deformed Virasoro algebra specializes in a certain limit to Lepowsky-Wilson's Z-algebra. This leads to a free field realization of the affine Lie algebra \hat{sl_2} which respects the principal gradation. We discuss some features of this bosonization including the screening current and vertex operators.

研究动机与目标

• 为解决在任意水平 $k$ 下缺乏与主分次兼容的 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 自由场实现的问题。
• 通过极限过程建立变形 Virasoro 代数与 Lepowsky-Wilson 的 ${\mathcal{Z}}$-代数之间的联系。
• 使用三个玻色场、顶点算符和筛子电流，构造与 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 相容的自由场实现。
• 提供一个与主 Heisenberg 子代数兼容的玻色化框架，与基于齐次 Heisenberg 子代数的 Wakimoto 构造形成对比。

提出的方法

• 通过特定极限将 ${\mathcal{Z}}$-代数作为变形 Virasoro 代数的特例导出，从而将其与仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 联系起来。
• 引入三个玻色场 $\phi_0(\zeta)$、$\phi_1(\zeta)$ 和 $\phi_2(\zeta)$，并赋予其特定的对易关系和正规排序指数，以实现当前。
• 将顶点算符 $\Phi_{\pm}(\zeta)$ 定义为玻色场的正规排序指数，满足与 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 的互换性质。
• 将筛子电流 $\eta(\zeta)$ 构造为正规排序指数，与 $\beta(\zeta)$ 交换，并使 $x(\zeta)$ 发生特定符号翻转。
• 通过 $\eta_0$ 和筛子算符 $Q^m$ 计算了顶点算符与算符 $B$ 复合后的迹，得到以 $q$-Pochhammer 符号和 Weierstrass 椭圆函数表示的表达式。
• 所得迹函数满足具有椭圆经典 $r$-矩阵的椭圆 Knizhnik-Zamolodchikov 方程，证实与 Etingof 框架的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 ${\mathcal{Z}}$-代数作为变形 Virasoro 代数的极限推导出来？
• RQ2 能否在任意水平 $k$ 下构造与主分次兼容的 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 自由场实现？
• RQ3 筛子电流 $\eta_0$ 在 Verma 模上实现自同态 $B$ 的作用是什么？
• RQ4 顶点算符及其矩阵元如何与椭圆 Knizhnik-Zamolodchikov 方程相关联？
• RQ5 在 $(j,k) = (1/2,-3)$ 和 $(1,-4)$ 等特殊情况中，迹函数的显式公式是什么？

主要发现

• 证明了 ${\mathcal{Z}}$-代数作为变形 Virasoro 代数的极限特例而出现，为 Lepowsky-Wilson 构造提供了新的代数路径。
• 使用具有特定对易关系的三个玻色场，构造了与主分次兼容的 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 自由场实现。
• 顶点算符 $\Phi_{\pm}(\zeta)$ 显式定义为正规排序指数，并满足与 $\widehat{\mathfrak{sl}}_2$ 所需的互换性质。
• 筛子电流 $\eta(\zeta)$ 构造为 $\zeta^{k+2\over 2}:e^{{\phi_1(\zeta)\over 2}+{\phi_2(\zeta)\over 2}}:$，与 $\beta(\zeta)$ 交换，并使 $x(\zeta)$ 的符号发生翻转。
• 对于 $(j,k) = (1/2,-3)$，迹 $\mathrm{tr}_{{\mathcal{F}}_{1/2,-3}}(\Phi_{\pm}(\zeta_1)\eta_0 q^{-\rho}) = q^{5/8}(q^2;q^2)_\infty^{-3/2}$ 在无积分情况下被导出。
• 对于 $(j,k) = (1,-4)$，两点迹表达为 $q^{1/4}(q^2;q^2)_\infty^{-9/4}\zeta^{1/4}\Theta_{q^2}(\zeta^2)^{-1/4}\Theta_{q^2}(-\varepsilon_1\varepsilon_2 q\zeta)$，并与 Weierstrass 椭圆函数相联系。