[论文解读] On linearised and elliptic versions of the Kashiwara-Vergne Lie algebra

Furusho, Hidekazu, Komiyama, Nao+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文使用 mould 理论技术，引入了 Kashiwara-Vergne 李代数 $\mathfrak{krv}$ 的线性化版本 ($\mathfrak{lkv}$) 和椭圆版本 ($\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$)。建立了单射李代数同态 $\mathfrak{ds} \hookrightarrow \mathfrak{krv}$ 和 $\mathfrak{ds}_{\text{ell}} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$，并证明了 $\mathfrak{krv} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$，扩展了已知的从 $\mathfrak{grt}$ 和 $\mathfrak{ds}$ 出发的映射，在所有权次下，深度 1–3 内均为同构。

ABSTRACT

The goal of this article is to define a linearized or depth-graded version $\mathfrak{lkv}$, and a closely related elliptic version $\mathfrak{krv}_{ell}$, of the Kashiwara-Vergne Lie algebra $\mathfrak{krv}$ originally constructed by Alekseev and Torossian as the space of solutions to the linearized Kashiwara-Vergne problem. We show how the elliptic Lie algebra $\mathfrak{krv}_{ell}$ is related to earlier constructions of elliptic versions $\mathfrak{grt}_{ell}$ and $\mathfrak{ds}_{ell}$ of the Grothendieck-Teichmüller Lie algebra $\mathfrak{grt}$ and the double shuffle Lie algebra $\mathfrak{ds}$. In particular we show that there is an injective Lie morphism $\mathfrak{ds}_{ell}\hookrightarrow \mathfrak{krv}_{ell}$, and an injective Lie algebra morphism $\mathfrak{krv} ightarrow \mathfrak{krv}_{ell}$ extending the known morphisms $\mathfrak{grt}\hookrightarrow\mathfrak{grt}_{ell}$ (Enriquez section) and $\mathfrak{ds} ightarrow\mathfrak{ds}_{ell}$ (Écalle map).

研究动机与目标

• 定义 Kashiwara-Vergne 李代数 $\mathfrak{krv}$ 的一个深度分次线性化版本 $\mathfrak{lkv}$，其构造方式类似于线性化双重 shuffle 李代数 $\mathfrak{ls}$。
• 构造 $\mathfrak{krv}$ 的椭圆版本 $\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$，其灵感来源于椭圆双重 shuffle 李代数 $\mathfrak{ds}_{\text{ell}}$ 和椭圆 Grothendieck-Teichmüller 理论。
• 建立单射李代数同态 $\mathfrak{ds}_{\text{ell}} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ 和 $\mathfrak{krv} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$，扩展已知的从 $\mathfrak{grt}$ 和 $\mathfrak{ds}$ 出发的映射。
• 比较 $\mathfrak{krv}$、$\mathfrak{lkv}$ 和 $\mathfrak{ds}$ 的分次结构，证明在所有权次下，深度 1–3 内均为同构。

提出的方法

• 通过在自由李代数 $\mathfrak{lie}_2$ 的导子上使用深度和权次滤子，模仿双分次线性化双重 shuffle 李代数 $\mathfrak{ls}$ 的构造方式，定义了 $\mathfrak{lkv}$。
• 将椭圆版本 $\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ 定义为两个生成元的 $\mathfrak{lie}_2$ 导子空间的子集，且在导子的李括号下封闭。
• 采用 J. Écalle 发展的 mould 理论作为核心技术工具，用于分析和构造李代数之间的映射。
• 通过涉及差积 $v_{j-1} - v_j$ 和生成函数 $P^n_C$ 的显式组合恒等式，证明 mould 计算中的关键关系。
• 通过显式公式构造单射同态，包括将 Écalle 的 mould 理论映射 $\mathfrak{ds} \to \mathfrak{ds}_{\text{ell}}$ 扩展至 $\mathfrak{krv} \to \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$。
• 建立一个交换图，将 $\mathfrak{grt} \to \mathfrak{ds} \to \mathfrak{krv}$ 链与 $\widetilde{\mathfrak{grt}}_{\text{ell}} \to \mathfrak{ds}_{\text{ell}} \to \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ 链联系起来，其中 $\widetilde{\mathfrak{grt}}_{\text{ell}}$ 是 $\mathfrak{grt}_{\text{ell}}$ 的子代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义 Kashiwara-Vergne 李代数 $\mathfrak{krv}$ 的一个深度分次线性化版本 $\mathfrak{lkv}$，使其构造方式类似于 $\mathfrak{ls}$？
• RQ2 椭圆版本 $\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ 的结构是怎样的？它与 $\mathfrak{grt}_{\text{ell}}$ 和 $\mathfrak{ds}_{\text{ell}}$ 有何关系？
• RQ3 是否存在一个单射李同态 $\mathfrak{krv} \to \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$，其能扩展已知的从 $\mathfrak{grt}$ 和 $\mathfrak{ds}$ 出发的映射？
• RQ4 在所有权次下，$\mathfrak{lkv}$ 和 $gr\,\mathfrak{krv}$ 的双分次部分在深度 1–3 是否同构？
• RQ5 能否构造一个交换图，将 $\mathfrak{grt}$–$\mathfrak{ds}$–$\mathfrak{krv}$ 链与它的椭圆对应链联系起来？

主要发现

• 存在一个单射李同态 $gr\,\mathfrak{krv} \hookrightarrow \mathfrak{lkv}$，其构造方式类似于已知的映射 $gr\,\mathfrak{ds} \to \mathfrak{ls}$。
• 单射映射 $\mathfrak{ds} \hookrightarrow \mathfrak{krv}$ 可扩展为一个单射李同态 $\mathfrak{ls} \hookrightarrow \mathfrak{lkv}$。
• 在所有权次 $n$ 下，$\mathfrak{lkv}$ 和 $gr\,\mathfrak{krv}$ 的深度 1、2 和 3 的双分次部分同构，其维数由 $\mathfrak{ls}$ 的维数决定。
• 椭圆李代数 $\mathfrak{krv}_{\text{ell}}$ 被良好地定义为 $\mathfrak{lie}_2$ 导子的李子代数，且在李括号下封闭。
• 构造了一个单射李同态 $\mathfrak{krv} \hookrightarrow \mathfrak{krv}_{\text{ell}}$，其扩展了已知的截面映射 $\mathfrak{grt} \to \mathfrak{grt}_{\text{ell}}$。
• 建立了一个交换图，其中 $\widetilde{\mathfrak{grt}}_{\text{ell}} \subset \mathfrak{grt}_{\text{ell}}$，表明 $\mathfrak{grt}$–$\mathfrak{ds}$–$\mathfrak{krv}$ 链在椭圆情形下的相容性。