[论文解读] On minimal immersions in Finsler spaces

Patrick Overath, Heiko von der Mosel|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Advanced Differential Geometry Research被引用 6

一句话总结

本文通过将Finsler面积泛函与Cartan泛函联系起来，建立了Finsler极小浸入的新存在性、唯一性和正则性结果，证明了Bernstein定理、奇点可移除性以及一般Finsler空间中的等周不等式。该研究将先前关于Minkowski-Randers空间中极小图的结果推广，并在Finsler度量的严格几何条件下，证明了光滑极小曲面在极端或图型边界上存在并跨越边界。

ABSTRACT

We explore a connection between the Finslerian area functional and well-investigated Cartan functionals to prove new Bernstein theorems, uniqueness and removability results for Finsler-minimal graphs, as well as enclosure theorems and isoperimetric inequalities for minimal immersions in Finsler spaces. In addition, we establish the existence of smooth Finsler-minimal immersions spanning given extreme or graphlike boundary contours.

研究动机与目标

• 将已知的Finsler极小图Bernstein定理从特定的Minkowski-Randers空间推广至更一般情形。
• 建立跨越给定边界轮廓的光滑Finsler极小浸入的存在性与唯一性。
• 推导Finsler极小子流形的包含定理与等周不等式。
• 利用Cartan泛函变分方法，阐明Finsler极小曲面理论中几何条件的最优性。

提出的方法

• 使用Busemann-Hausdorff面积泛函作为Finsler度量下的面积测度，其来源于欧氏单位球与Finsler单位球的体积比。
• 应用Shen的面积泛函一阶变分公式，定义Finsler平均曲率，并将临界点定义为Finsler极小浸入。
• 依赖于Finsler面积与Cartan泛函之间的联系，将参数椭圆积分理论中的存在性与凸性结果转移至本研究。
• 通过向内变分定义Finsler面积平均凸性，确保White存在性定理在Cartan泛函中的适用性。
• 利用Winklmann关于Minkowski度量的存在性与唯一性结果，在Finsler三维空间中建立嵌入极小圆盘的存在性。
• 通过Finsler面积平均曲率为零的变分刻画，即${\mathcal{A}}^F$-平均曲率为零，其中${\mathcal{A}}^F$是与Finsler度量相关的Cartan被积函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\mathbb{R}^{m+1}$中，具有$(\alpha,\beta)$-度量的整个Finsler极小图在何种条件下仍为仿射平面？该结果是否将先前工作的$|b|<1/\sqrt{3}$界限推广至更一般情形？
• RQ2 在一般Finsler流形中，能否保证光滑Finsler极小浸入在极端或图型边界轮廓上存在？
• RQ3 Finsler面积平均凸性在通过变分方法确保极小曲面存在性方面起何种作用？
• RQ4 等周不等式与包含定理在Finsler极小浸入中如何推广至Minkowski-Randers情形之外？
• RQ5 Finsler极小曲面的几何阈值条件的最优性如何？其与特定Finsler-Minkowski空间中已知结果的关系是什么？

主要发现

• 本文证明了在$|b|<1/\sqrt{3}$条件下，$\mathbb{R}^2$上Finsler极小图必为仿射平面，确认了该界限在椭圆性与正则性方面的最优性。
• 通过向内变分与Cartan泛函理论，本文在一般Finsler空间中建立了跨越给定极端或图型边界轮廓的光滑Finsler极小浸入的存在性。
• 作者推导出Finsler极小浸入的新等周不等式与包含定理，推广了欧氏与Minkowski情形下的结果。
• 证明了Finsler面积平均凸性等价于${\mathcal{A}}^F$-单位球的严格凸性，从而确保White存在性定理的适用性。
• 本文确认$|b|<1/\sqrt{3}$为最优条件：超过此界限时，Finsler极小图的PDE将变为非椭圆型，从而允许存在奇异极小锥面。
• 对于Minkowski度量，利用Winklmann的结果，可保证嵌入极小圆盘的存在性与唯一性，且Finsler面积泛函为参数椭圆型且齐次。