[论文解读] On minimax theorems for lower semicontinuous functions in Hilbert spaces

Ewa M. Bednarczuk, Monika Syga|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Optimization and Variational Analysis参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文在不假设紧致性或连通性的条件下，为希尔伯特空间上的下半连续函数建立了极小极大定理。通过引入抽象 $Φ$-次梯度与 $Φ_{lsc}$-凸函数的交集性质，提出了极小极大等式的新表征方式，给出了基于特定层次上 $Φ$-次梯度的充分必要条件。

ABSTRACT

We prove minimax theorems for lower semicontinuous functions defined on a Hilbert space. The main tool is the theory of $Φ$-convex functions and sufficient and necessary conditions for the minimax equality to hold for $Φ$-convex functions. These conditions are expressed in terms of abstract $Φ$-subgradients.

研究动机与目标

• 在不假设紧致性或连通性的条件下，为希尔伯特空间上的下述连续函数建立极小极大定理。
• 通过抽象 $Φ$-次梯度的交集性质表征极小极大等式。
• 通过将条件表达为 $Φ$-次梯度而非任意支撑函数，推广现有 $Φ$-凸函数的极小极大结果。
• 以 $Φ_{lsc}$-次梯度与 $Φ_{conv}$-次梯度的形式，提供极小极大等式的充分必要条件。
• 通过在特定层次上利用交集性质，统一并推广抽象凸分析中的先前极小极大结果。

提出的方法

• 采用抽象凸分析方法，通过支撑集和 $Φ$-次微分定义 $Φ$-凸函数。
• 应用交集性质（定义为 $[\varphi_1 < \alpha] \cap [\varphi_2 < \alpha] = \emptyset$）来表征极小极大等式。
• 采用 $Φ_{lsc}$-凸性，其中 $\varphi(x) = -a\|x\|^2 + \langle \ell, x \rangle + c$，以建模下述连续函数并使其有下界于二次函数。
• 利用 $Φ$-次梯度理论，将交集性质中的任意支撑函数替换为特定点处的次梯度。
• 应用康托尔交集定理构造子水平集中的公共点，从而推导出在层次 $\beta$ 下的交集性质。
• 建立极小极大等式与存在满足在层次低于 $\inf_{x} \sup_{y} a(x,y)$ 处的交集性质的 $Φ$-次梯度之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够使用 $Φ$-次梯度而非任意支撑函数，在交集性质中表征极小极大等式？
• RQ2 在不假设紧致性或连通性的情况下，$Φ_{lsc}$-凸函数的何种条件可确保极小极大等式成立？
• RQ3 在层次 $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$ 下的交集性质，如何与满足相同性质的 $Φ$-次梯度的存在性相关联？
• RQ4 在何种条件下，极小极大等式等价于存在满足在所有低于 $\inf_x \sup_y a(x,y)$ 层次的交集性质的 $Φ$-次梯度？
• RQ5 当从层次 $\beta$ 移动到 $\alpha < \beta$ 时，交集性质是否可通过 $Φ$-次梯度保持不变？

主要发现

• 极小极大等式成立当且仅当，对每个 $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$，存在 $y_1, y_2 \in Y$，$x_1 \in \text{dom}(a(\cdot,y_1))$，$x_2 \in \text{dom}(a(\cdot,y_2))$，以及 $\varphi_1 \in \partial_{\Phi_{lsc}} a(\cdot,y_1)(x_1)$，$\varphi_2 \in \partial_{\Phi_{lsc}} a(\cdot,y_2)(x_2)$，使得 $\varphi_1$ 与 $\varphi_2$ 在层次 $\alpha$ 下满足交集性质。
• 在一致凸的巴拿赫空间上，对于 $\Phi_{conv}$-凸函数，极小极大等式等价于存在满足在所有层次 $\alpha < \inf_x \sup_y a(x,y)$ 下交集性质的 $\Phi_{conv}$-次梯度。
• 在层次 $\beta = \inf_x \sup_y a(x,y)$ 下的交集性质在小扰动下保持不变，从而可通过康托尔交集定理构造出子水平集中的公共点。
• 若存在 $\bar{y} \in Y$ 使得 $\inf_x a(x,\bar{y}) = \sup_y \inf_x a(x,y)$，且存在某个 $\gamma > \beta$ 使得子水平集 $[a(\cdot,\tilde{y}) \leq \gamma]$ 有界，则可通过次梯度应用交集性质。
• 对于所有 $\varepsilon > 0$，极小极大等式与存在满足在层次 $\alpha$ 下交集性质的 $\varepsilon$-次梯度之间的等价性成立，从而将结果推广至近似次梯度。
• 本文证明了，若在 $\Phi_{lsc}$ 中存在严格下界函数，则 $\Phi_{lsc}$-凸性足以使希尔伯特空间上的下述连续函数表示为 $\Phi_{lsc}$ 中函数的逐点上确界。