[论文解读] On Multivariate Optimal Transportation

Novin Ghaffari, Stephen G. Walker|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文证明，对于具有二次成本的多元最优传输问题，随机向量之间的最优耦合完全由其底层拷贝（copulas）之间的最优耦合决定。通过聚焦于阿基米德型和椭球型拷贝，作者推导出可计算的解，表明仅求解拷贝层面的传输问题即可解决完整多元分布的传输问题。

ABSTRACT

The Wasserstein distance, under a convex cost function, between random variables on $\mathbb{R}$ admits a simple, tractable solution. On the other hand, in higher dimensions, and even for the quadratic cost, the distance and associated optimal coupling, remains problematic, save for a few special cases. In this paper, we demonstrate that, in the case of quadratic cost, it is the underlying copula which drives optimal couplings. That is, if one has the optimal coupling between the two copulas of two multivariate random variables, then one has it between the two multivariate random variables. This motivates looking at optimal couplings between copula and indeed we find such for the class of Archimedean copula. The technique we use to do this is then developed to find optimal couplings between copulas associated with elliptical distributions.

研究动机与目标

• 为解决长期存在的多元最优传输问题中具有二次成本的计算挑战，该问题在一般情况下缺乏可计算的解法，仅在特定情形下可行。
• 识别拷贝在多元最优传输中，特别是在二次成本下的结构性作用。
• 提出一种通用方法，通过聚焦于分布的拷贝分量，计算多元分布之间的最优耦合。
• 将该方法扩展至在统计学与金融学中广泛应用的阿基米德型和椭球型拷贝。
• 建立在拷贝层面求解传输问题可获得完整分布层面解的理论基础，从而简化计算过程。

提出的方法

• 作者证明，在二次成本下，多元随机向量之间的最优耦合仅取决于其拷贝之间的最优耦合。
• 利用拷贝生成函数和依赖结构，推导出阿基米德型拷贝类的最优耦合。
• 通过利用椭球型拷贝的对称性与径向结构，借助变换技术构建最优耦合。
• 该方法利用拷贝独立于边缘分布编码依赖结构的特性，实现传输问题的解耦。
• 通过在拷贝空间中求解传输问题，再将其提升回原始分布空间，构建最终解。
• 关键方程涉及使用带有二次成本的Wasserstein距离，以及通过生成函数和径向测度表示拷贝。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二次成本下，多元分布之间的最优耦合是否可简化为它们拷贝之间的最优耦合？
• RQ2 在二次成本下，阿基米德型拷贝的最优耦合形式为何？
• RQ3 如何利用椭球型拷贝的结构性质构建其最优耦合？
• RQ4 拷贝在多元设定中在多大程度上完全决定了最优传输计划？
• RQ5 在何种条件下，确保在拷贝层面求解传输问题可获得完整分布的全局解？

主要发现

• 在二次成本下，多元随机向量之间的最优耦合完全由其拷贝之间的最优耦合决定。
• 对于阿基米德型拷贝，作者利用拷贝生成函数和径向对称性，推导出显式最优耦合。
• 通过利用其球对称与径向结构，该方法可扩展至椭球型拷贝，从而获得可计算的解。
• 在拷贝层面获得的解可完全确定原始多元分布的最优传输计划。
• 该方法为在高维设定下计算最优耦合提供了通用框架，而此前此类问题缺乏闭式解。
• 结果表明，拷贝中编码的依赖结构是多元设定下最优传输的关键驱动因素。