[论文解读] On One-way Functions and Kolmogorov Complexity

Wenbo Liu, Rafael Pass|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Cryptography and Data Security参考文献 50被引用 5

一句话总结

该论文建立了单向函数的存在性与多项式时间有界柯尔莫哥洛夫复杂度（$K^{\ ext{poly}}$）的温和平均-case困难性之间的等价性。它证明了单向函数存在的充要条件是：不存在任何概率多项式时间算法，能在超过 $1 - \frac{1}{p(n)}$ 的 $n$-比特字符串上正确计算 $K^{\text{poly}}$，从而首次给出了一个自然且广为人知的问题，用以刻画核心私钥密码原语的可行性。

ABSTRACT

We prove that the equivalence of two fundamental problems in the theory of computing. For every polynomial $t(n)\geq (1+\varepsilon)n, \varepsilon>0$, the following are equivalent: - One-way functions exists (which in turn is equivalent to the existence of secure private-key encryption schemes, digital signatures, pseudorandom generators, pseudorandom functions, commitment schemes, and more); - $t$-time bounded Kolmogorov Complexity, $K^t$, is mildly hard-on-average (i.e., there exists a polynomial $p(n)>0$ such that no PPT algorithm can compute $K^t$, for more than a $1-\frac{1}{p(n)}$ fraction of $n$-bit strings). In doing so, we present the first natural, and well-studied, computational problem characterizing the feasibility of the central private-key primitives and protocols in Cryptography.

研究动机与目标

• 解决一个长期悬而未决的开放问题：是否存在一个自然且平均-case困难的计算问题，能够刻画单向函数的存在性？
• 建立单向函数存在性与 $K^{\mathsf{poly}}$ 复杂度平均-case困难性之间的直接等价关系。
• 通过一个广为人知的复杂性理论问题，对核心私钥密码原语（如伪随机生成器、数字签名、承诺方案）的可行性提供刻画。
• 证明 $K^{\mathsf{poly}}$ 在平均情况下是温和困难的，当且仅当单向函数存在，从而将基本密码学假设与算法信息论中的核心问题联系起来。

提出的方法

• 基于单向函数和从 $K^{\mathsf{poly}}$ 复杂度导出的强加密函数，构造一个条件期望多项式时间伪随机生成器（cond EP-PRG）。
• 使用填充技巧，将仅定义在特定输入长度上的 cond EP-PRG 转换为在所有输入长度上定义的、速率-1 高效的 cond EP-PRG。
• 利用哈希函数和 GL 强加密函数，生成具有受控熵损失的伪随机位，确保输出与均匀分布不可区分。
• 应用参数变换，确保生成器的运行时间在输入长度的多项式范围内，且错误概率可忽略。
• 利用如下事实：若 $K^{\mathsf{poly}}$ 在平均情况下是温和困难的，则可通过基于 $K^{\mathsf{poly}}$ 的通用构造方式构建单向函数。
• 采用从 $K^{\mathsf{poly}}$ 的平均-case困难性到单向函数存在性的归约，表明任何能高效破坏 $K^{\mathsf{poly}}$ 的算法，都意味着可以用于反转单向函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个自然且广为人知的计算问题，能够刻画单向函数的存在性？
• RQ2 能否利用 $K^{\mathsf{poly}}$ 复杂度的平均-case困难性来构造单向函数？
• RQ3 $K^{\mathsf{poly}}$ 的温和平均-case困难性是否与单向函数的存在性等价？
• RQ4 能否从 $K^{\mathsf{poly}}$ 的困难性构造出一个速率-1 高效的 cond EP-PRG？
• RQ5 单向函数的存在是否意味着 $K^{\mathsf{poly}}$ 在平均情况下是温和困难的？

主要发现

• 单向函数存在的充要条件是 $K^{\mathsf{poly}}$ 在平均情况下是温和困难的，从而在复杂性理论与密码学的两个基本问题之间建立了紧密等价关系。
• $K^{\mathsf{poly}}$ 的温和平均-case困难性意味着所有标准私钥密码原语（包括伪随机生成器、数字签名和承诺方案）的存在。
• 为 $\mu(n) = \frac{1}{n^2}$ 构造了一个速率-1 高效的 $\mu$-cond EP-PRG，表明该构造在 $K^{\mathsf{poly}}$ 困难性的假设下既高效又安全。
• 该 cond EP-PRG 的构造确保其运行时间在输入长度的多项式范围内，且错误概率可忽略。
• 生成器的熵损失受到控制，且有界于常数倍的 $\log n$，确保在多次应用后输出仍保持伪随机性。
• 该论文通过证明 $K^{\mathsf{poly}}$ 是首个自然且广为人知的问题，能够刻画所有 Minicrypt 原语的可行性，从而解决了长期悬而未决的开放问题。