[论文解读] On optimization of coherent and incoherent controls for two-level quantum systems

О. В. Моржин, Alexander Pechen|arXiv (Cornell University)|May 5, 2022

Laser-Matter Interactions and Applications参考文献 57被引用 6

一句话总结

本文提出一种改进的两阶段最优控制方法，用于两级开放量子系统，将第一阶段的恒定非相干控制替换为数值优化的分段常数非相干控制。通过推导系统态、目标函数和梯度的精确解析表达式，该方法在保持高保真度的前提下，显著缩短了第一阶段持续时间——最多可缩短数倍——并采用两步梯度投影法（GPM-2）实现优化。

ABSTRACT

This article considers some control problems for closed and open two-level quantum systems. The closed system's dynamics is governed by the Schrödinger equation with coherent control. The open system's dynamics is governed by the Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad master equation whose Hamiltonian depends on coherent control and superoperator of dissipation depends on incoherent control. For the closed system, we consider the problem for generation of the phase shift gate for some values of phases and final times for which numerically show that zero coherent control, which is a stationary point of the objective functional, is not optimal; it gives an example of subtle point for practical solving problems of quantum control. For the open system, in the two-stage method which was developed for generic N-level quantum systems in [Pechen A., Phys. Rev. A., 84, 042106 (2011)] for approximate generation of a target density matrix, here we consider the two-level systems for which modify the first ("incoherent") stage by numerically optimizing piecewise constant incoherent control instead of using constant incoherent control analytically computed using eigenvalues of the target density matrix. Exact analytical formulas are derived for the system's state evolution, the objective functions and their gradients for the modified first stage. These formulas are applied in the two-step gradient projection method. The numerical simulations show that the modified first stage's duration can be significantly less than the unmodified first stage's duration, but at the cost of optimization in the class of piecewise constant controls.

研究动机与目标

• 解决在两级开放量子系统中最小化非相干控制阶段持续时间以制备目标密度矩阵的挑战。
• 克服标准两阶段方法的局限性，该方法依赖于基于目标态本征值的解析计算所得恒定非相干控制。
• 开发一种基于分段常数非相干控制的数值优化替代方案，以实现更快的状态制备。
• 为改进后第一阶段的系统态、目标函数和梯度推导精确的解析公式，以实现高效优化。
• 评估在保持高保真度的前提下，第一阶段持续时间减少所带来的性能提升。

提出的方法

• 将第一阶段中解析推导的恒定非相干控制替换为数值优化的分段常数非相干控制。
• 利用Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad（GKSL）主方程，推导在分段常数非相干控制下系统态演化的精确解析表达式。
• 解析计算目标函数及其梯度，从而在两步GPM-2方法中实现高效的基于梯度的优化。
• 应用梯度投影法（GPM-2）对第二阶段的相干控制进行优化，以改进后第一阶段的态作为初始条件。
• 利用目标泛函的Fréchet导数计算梯度增量，用于迭代优化，并引入惩罚项以满足相干控制的边界条件。
• 采用GRAPE、差分进化和双重退火等数值优化方法探索控制景观并验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 与恒定非相干控制相比，分段常数非相干控制是否能缩短两级开放量子系统第一阶段的持续时间？
• RQ2 在两阶段控制框架中，非相干控制的数值优化对最终密度矩阵保真度有何影响？
• RQ3 目标函数的解析梯度如何提升改进后第一阶段优化的效率与精度？
• RQ4 改进后的两阶段方法在减少时间需求的同时，是否保持或改善了原始方法的收敛特性？
• RQ5 在何种条件下，控制复杂度（分段常数 vs. 恒定）与持续时间缩短之间的权衡在实际量子控制中是合理的？

主要发现

• 采用分段常数非相干控制的改进第一阶段，其持续时间显著缩短——最多可减少数倍——相比使用恒定非相干控制的未改进第一阶段。
• 为改进后第一阶段推导出系统态、目标函数和梯度的精确解析表达式，从而实现高效的基于梯度的优化。
• 数值模拟表明，改进方法在保持高保真度方面表现优异，测试案例中与目标态的距离降低至 $ 0.5\varepsilon_{\rm 2stage} $ 以内。
• 结合解析梯度的梯度投影法（GPM-2）实现了稳健且高效的优化，其收敛速度优于纯随机方法。
• 在某些参数区域，零相干控制并非相位移位门生成的最优选择，揭示了量子控制景观中非平凡的结构。
• 该改进方法在控制复杂度与时间效率之间提供了切实可行的权衡，尤其当实验条件允许实现分段常数非相干控制时更具优势。