[论文解读] On Paraconsistent Weakening of Intuitionistic Negation

Zoran Majkić|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过削弱直觉主义否定以避免 ex falso quodlibet 原则，同时保持关键结构性质，提出了修改后的 paraconsistent 系统 mZₙ 和 mCZₙ。通过将直觉主义否定替换为基于 Birkhoff 对偶性和继承不相容性的分裂否定，系统借助 Kripke 风格语义实现 paraconsistency，满足 Da Costa 对 paraconsistent 逻辑的条件。

ABSTRACT

In [1], systems of weakening of intuitionistic negation logic called Z_n and CZ_n were developed in the spirit of da Costa's approach(c.f. [2]) by preserving, differently from da Costa, its fundamental properties: antitonicity, inversion and additivity for distributive lattices. However, according to [3], those systems turned out to be not paraconsistent but extensions of intuitionistic logic. Taking into account of this result, we shall here make some observations on the modified systems of Z_n and CZ_n, that are paraconsistent as well.

研究动机与目标

• 为解决早期系统 Zₙ 和 CZₙ 的 paraconsistent 失败问题，这些系统被证明是直觉主义逻辑的扩展而非真正意义上的 paraconsistent。
• 开发修改后的系统 mZₙ 和 mCZₙ，通过移除使原始系统中爆炸成立的公理 ¬1 ⇒ 0，实现真正意义上的 paraconsistency。
• 基于继承不相容性和 Birkhoff 对偶性，定义一个分裂否定算子，确保该否定满足 Da Costa 的公理 (11) 和 (12)。
• 通过在分配格中重新解释通过 Galois 连接定义的可及关系，为新否定建立 Kripke 风格语义。
• 确保修改后的系统在避免矛盾前提导致的平凡性的同时，保持构造性推理和分配格性质。

提出的方法

• 通过从原始 Zₙ 系统中移除公理 ¬1 ⇒ 0，引入修改后的系统 mZₙ，从而破坏 ex falso quodlibet 的推导。
• 在世界集 W 上基于继承不相容关系 R 定义分裂否定 λ，其中 λ(U) = {w ∈ W | ∀v ∈ U, wRv}，U ⊆ W。
• 通过 Birkhoff 对偶性和 Galois 连接，确保否定算子 λ 满足反单调性、可加性以及对继承子集的封闭性。
• 通过代数和模型论方法，验证重言式相对化和 n-一致性传播，证明修改后的系统 mZₙ 满足 Da Costa 的公理 (11) 和 (12)。
• 通过添加乘法性质 λ(U ∩ V) = λU ∪^OP λV，将 mZₙ 扩展为 mCZₙ，确保否定表现如构造性否定。
• 通过定义满足关系：w ⊨ ¬A 当且仅当 ∀v ∈ W，wRv 蕴含 v ⊭ A，利用从 Galois 连接导出的不相容关系 R，为 mZₙ 和 mCZₙ 构造 Kripke 语义。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始 Zₙ 和 CZₙ 系统能否被修改以实现真正的 paraconsistency，避免 ex falso quodlibet 原则？
• RQ2 从 Zₙ 中移除公理 ¬1 ⇒ 0 是否能产生一个满足 Da Costa 的 paraconsistent 条件 (NdC1–NdC4) 的系统？
• RQ3 基于 Birkhoff 对偶性和继承不相容关系的分裂否定能否提供一种语义，同时支持 paraconsistency 和分配格结构？
• RQ4 mZₙ 和 mCZₙ 中修改后否定算子的 Kripke 风格语义是否在代数性质上是 sound 且 complete 的？
• RQ5 在何种条件下，da Costa 公理 (11) 和 (12) 可在修改后的系统中推导得出，且 Kripke 语义仍可定义？

主要发现

• 修改后的系统 mZₙ 是 paraconsistent 的，因为其不再能证明 ex falso quodlibet 规则，关键公理 ¬1 ⇒ 0 已被移除。
• 通过 Birkhoff 对偶性定义的分裂否定 λ 满足可加性性质 λ(U ∪ V) = λU ∩ λV，确保了分配性与格结构的兼容性。
• 在 mZₙ 中可证明公式 ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)，确认该否定在析取下表现如对偶算子。
• 在 mZₙ 中可推导出 ¬0 ≡ 1，表明矛盾的否定为真，这与 paraconsistent 语义一致。
• 通过向 mZₙ 添加乘法性质得到的系统 mCZₙ 支持一种满足反演律且对继承子集封闭的构造性否定。
• mZₙ 和 mCZₙ 的 Kripke 风格语义可通过从 Birkhoff 对偶性导出的不相容关系定义，使其成为直觉主义 Kripke 模型的保守扩展。