[论文解读] On Path Integration of Grid Cells: Isotropic Metric, Conformal Embedding and Group Representation

Ruiqi Gao, Jianwen Xie+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Neural dynamics and brain function被引用 2

一句话总结

本文提出一种基于向量的路径整合模型，利用网格细胞，其中自身运动通过递归网络对神经活动向量进行变换来编码。研究表明，当网络的方向导数满足各向同性条件时，可实现自身运动在神经表征空间中的共形嵌入；线性原型模型可产生李群表示和六边形网格图样，支持近乎精确的路径整合。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to understand how the grid cells may perform path integration calculations. We study a general representational model of path integration in which the self-position is represented by a vector formed by the activities of a population of grid cells, and the self-motion is represented by the change of this vector which is transformed by a general recurrent network for path integration. For local infinitesimal self-motion, the change of the vector is determined by the directional derivative of the recurrent network, and the norm of the directional derivative captures the metric of the path integration model. We identify an isotropic condition on the norm of the directional derivative of the recurrent network, so that the local change of this vector is a conformal embedding of the local self-motion. We then study a minimally simple prototype model where the local change is a linear transformation of the vector. This linear model gives rise to explicit algebraic structure in terms of matrix Lie group representation of 2D self-motion, as well as explicit geometric structure where the self-motion is represented by the rotation of the vector. We connect the isotropic condition under the linear model to the hexagon grid patterns of the response maps of grid cells. Our numerical experiments demonstrate that our model learns hexagon grid patterns which share various observed properties of the grid cells in the rodent brain. Furthermore, the learned model is capable of near exact path integration.

研究动机与目标

• 理解网格细胞如何通过神经群体向量的一般表征模型实现路径整合。
• 识别神经表征中自身运动成为物理运动共形嵌入的条件。
• 开发一个最小化简化的线性模型，将神经动力学与二维自身运动的几何与代数结构联系起来。
• 将模型中的各向同性条件与海马体中观察到的六边形网格放电图样的出现联系起来。
• 证明所学习的模型可实现近乎精确的路径整合性能。

提出的方法

• 将自身位置表示为网格细胞活动的向量，自身运动通过递归网络对这一向量的变化进行编码。
• 使用递归网络的方向导数对局部无穷小自身运动进行建模，其中范数定义了路径整合的度量。
• 在方向导数范数上引入各向同性条件，以确保自身运动在神经表征空间中实现共形嵌入。
• 提出一个线性原型模型，其中向量变换为矩阵线性运算，从而显式实现二维自身运动的李群表示。
• 通过几何分析表明，该线性模型对应于向量旋转，将神经动力学与旋转对称性联系起来。
• 进行数值实验以训练模型，并评估其生成六边形网格图样及执行路径整合的能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过方向导数范数的各向同性，使神经群体向量模型实现自身运动的共形嵌入？
• RQ2 当路径整合网络被线性化时，神经表征中会涌现出何种代数结构？
• RQ3 线性模型中的各向同性条件如何与六边形网格放电图样的形成相关联？
• RQ4 所提出的模型能否学习到可复现大鼠网格细胞观测特性的网格图样？
• RQ5 该模型在模拟中能在多大程度上实现近乎精确的路径整合？

主要发现

• 方向导数范数的各向同性条件可确保神经表征中自身运动是物理运动的共形嵌入。
• 线性原型模型产生了二维自身运动的矩阵李群表示，将神经动力学与连续旋转对称性联系起来。
• 该模型在网格细胞的响应图中生成了六边形网格图样，与大鼠大脑中的实验观察结果一致。
• 所学习的网格图样表现出空间周期性和六边形对称性等关键特性，与生物网格细胞一致。
• 数值实验证实，该模型在长轨迹上可实现近乎精确的路径整合性能。
• 线性模型中向量旋转的几何结构为神经动力学与网格细胞放电的六边形对称性之间提供了直接联系。