[论文解读] On perfect powers that are sums of cubes of a three term arithmetic progression

Alejandro Argáez-García, Vandita Patel|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文证明了当 $n \geq 5$ 为素数且 $0 < r \leq 10^6$ 时，方程 $(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 = y^n$ 仅有满足 $xy = 0$ 的平凡整数解，方法包括弗雷-赫勒高维奇曲线、模形式性、伽罗华表示以及对数线性型的界。该结果扩展了关于等差数列中立方和的先前工作，并证实了当 $k=3$ 且 $n$ 较大时，不存在非平凡的完全幂解。

ABSTRACT

Using only elementary arguments, Cassels and Uchiyama (independently) determined all squares that are sums of three consecutive cubes. Zhongfeng Zhang extended this result and determined all perfect powers that are sums of three consecutive cubes. Recently, the equation $(x-r)^k + x^k + (x+r)^k$ has been studied for $k=4$ by Zhongfeng Zhang and for $k=2$ by Koutsianas. In this paper, we complement the work of Cassels, Koutsianas and Zhang by considering the case when $k=3$ and showing that the equation $(x-r)^3+x^3+(x+r)^3=y^n$ with $n\geq 5$ a prime and $0 &lt; r \leq 10^6$ only has trivial solutions $(x,y,n)$ which satisfy $xy=0$.

研究动机与目标

• 填补对指数 $n \geq 5$ 的完全幂为三项等差数列中立方和的理解空白。
• 将卡斯尔斯、内山和张的工作（分别解决了 $n=2$ 和 $n \geq 2$ 且 $r=1$ 的情形）推广至一般 $r$ 的情形。
• 证明当 $k=3$ 时，方程 $(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 = y^n$ 在 $n \geq 5$ 为素数且 $r \leq 10^6$ 的条件下无非平凡整数解。
• 运用高级数论技术，在 $\gcd(x,r) = 1$ 的互素条件下排除非平凡解。
• 提供一个计算与理论相结合的框架，适用于 $r$ 超过 $10^6$ 的更大范围。

提出的方法

• 通过代换 $y = 3w$，将原始的丢番图方程转化为三元形式 $x(x^2 + 2r^2) = 3^{p-1}w^p$。
• 基于 $x$ 的奇偶性及被 3 整除性，分析四种情形，应用下降法得到 $(p,p,p)$ 或 $(p,p,2)$ 型方程。
• 为所得三元方程关联弗雷-赫勒高维奇椭圆曲线，以应用模形式性与水平降低论证。
• 应用对数线性型的界（米涅克特结果）以限制可能的解。
• 使用 Magma 进行局部可解性检查、下降运算及剩余候选解的 Thue 方程求解。
• 应用引理 7.1、7.2 和 7.3，通过伽罗华表示与局部障碍技术排除解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \geq 5$ 为素数且 $0 < r \leq 10^6$ 时，方程 $(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 = y^n$ 是否存在非平凡整数解？
• RQ2 模方法与伽罗华表示技术是否可用于排除 $k=3$ 情形下完全幂的非平凡解？
• RQ3 假设 $\gcd(x,r) = 1$ 是否足以防止通过缩放引入的人工解？其如何约束解空间？
• RQ4 Thue 方程求解与计算数论的结合是否能排除初始筛选后剩余的所有候选解？
• RQ5 是否存在一种统一方法，可基于相同的理论框架将解的范围扩展至 $r \leq 10^6$ 以上？

主要发现

• 当 $p \geq 5$ 为素数且 $0 < r \leq 10^6$ 时，方程 $(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 = y^p$ 在 $\gcd(x,r) = 1$ 条件下无非平凡整数解。
• 在初始计算过滤后，仅有 14 个方程留存于情形 3 和 4，其中 13 个通过引理 10.1 排除（对应 $r = 2^k$，$k \geq 5$）。
• 在剩余的 14 个方程中，777 个来自情形 4（$2 \nmid x$，$3 \nmid x$），13 个来自情形 3（$2 \nmid x$，$3 \mid x$），所有方程均满足 $p \geq 5$。
• 通过 Magma 求解器对 Thue 方程进行求解，未发现剩余 778 个方程中的任何非平凡解，从而完成证明。
• 最终结果确认所有整数解均满足 $xy = 0$，即仅存在平凡解。
• 计算总耗时约为 66 小时（情形 3）和 70 小时（情形 4），且对 $r \leq 10^6$ 完成了完整过滤。