[论文解读] On Poisson quasi-Nijenhuis Lie algebroids

Raquel Caseiro, Antonio De Nicola+1 more|ArXiv.org|Jun 15, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文引入了泊松拟-尼延胡斯李代数丛作为泊松拟-尼延胡斯流形的推广，证明了每一类此类结构均可诱导出一个拟-李双代数丛，进而得到相应的考伦特代数丛。本文定义了拟-李双代数丛与考伦特代数丛的同态，并利用配对算子对李代数丛与拟-李双代数丛的双倍结构进行形变，为广义复几何提供了形变框架。

ABSTRACT

We propose a definition of Poisson quasi-Nijenhuis Lie algebroids as a natural generalization of Poisson quasi-Nijenhuis manifolds and show that any such Lie algebroid has an associated quasi-Lie bialgebroid. Therefore, also an associated Courant algebroid is obtained. We introduce the notion of a morphism of quasi-Lie bialgebroids and of the induced Courant algebroids morphism and provide some examples of Courant algebroid morphisms. Finally, we use paired operators to deform doubles of Lie and quasi-Lie bialgebroids and find an application to generalized complex geometry.

研究动机与目标

• 通过定义泊松拟-尼延胡斯李代数丛，将泊松拟-尼延胡斯流形的理论推广至李代数丛设定。
• 建立泊松拟-尼延胡斯李代数丛与拟-李双代数丛之间的对应关系，从而获得相应的考伦特代数丛。
• 定义拟-李双代数丛的同态及其诱导的考伦特代数丛同态，扩展了李双代数丛理论中的已知结果。
• 探讨配对算子在形变李代数丛与拟-李双代数丛的双倍结构中的作用，适用于广义复几何。

提出的方法

• 通过李代数丛 A、A 上的尼延胡斯张量 N、A 上的泊松二阶张量 π 以及满足特定挠率与相容性条件的闭 3-形式 φ，提出泊松拟-尼延胡斯李代数丛的定义。
• 证明此类结构自然诱导出 A* 上的一个拟-李双代数丛，其上微分算子为 d*，3-截面为 XA=φ，满足 d*² = [φ,·]A 与 d*φ=0。
• 引入拟-李双代数丛同态的概念，推广李双代数丛同态，并通过双倍构造定义诱导的考伦特代数丛同态。
• 利用配对算子 N = (N, π; σ, -N*) 在双倍 A⊕A* 上形变标准的扭曲考伦特括号 [·,·]φ，得到新的括号 [·,·]φN。
• 证明若配对算子 N 在 A 与 A* 上的尼延胡斯挠率消失，则形变括号 [·,·]φN 在 A⊕A* 上定义了一个新的考伦特代数丛结构。
• 证明形变后的考伦特代数丛 (A⊕A*)φN 同构于一个新的拟-李双代数丛 (A*π, d', dσ + iNφ) 的双倍，其中 d' 定义为 d'f = dNf 与 d'α = dNα - iπ#(α)φ。

实验结果

研究问题

• RQ1 泊松拟-尼延胡斯结构的概念如何从流形推广至李代数丛？
• RQ2 泊松拟-尼延胡斯李代数丛与拟-李双代数丛之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 拟-李双代数丛的同态如何与它们对应的考伦特代数丛同态相关联？
• RQ4 能否利用配对算子将拟-李双代数丛的双倍形变为新的考伦特代数丛结构？
• RQ5 尼延胡斯挠率在通过配对算子形变考伦特代数丛结构的过程中起什么作用？

主要发现

• 每个泊松拟-尼延胡斯李代数丛在对偶丛 A* 上自然诱导出一个拟-李双代数丛，其中 3-截面 φ 满足 d*φ=0 与 d*²=[φ,·]A。
• 诱导的拟-李双代数丛 A* 的双倍自然识别为一个考伦特代数丛，扩展了从泊松-尼延胡斯到拟-尼延胡斯结构的已知对应关系。
• 若配对算子 N 在 A⊕A* 上的尼延胡斯挠率消失，则形变括号 [·,·]φN 在 A⊕A* 上定义了一个有效的考伦特代数丛结构。
• 形变后的考伦特代数丛 (A⊕A*)φN 同构于一个新的拟-李双代数丛 (A*π, d', dσ + iNφ) 的双倍，其中 d' 定义为 d'f = dNf 与 d'α = dNα - iπ#(α)φ。
• 通过配对算子 N 在 A⊕A* 上诱导的考伦特代数丛结构保持了非退化双线性型与余切映射 ρN，并与扭曲括号 [·,·]φ 兼容。
• 该构造提供了一种利用配对算子对李代数丛与拟-李双代数丛的双倍进行形变的机制，适用于广义复几何。