[论文解读] On Power Law Scaling Dynamics for Time-fractional Phase Field Models during Coarsening

Lizhen Chen, Jia Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文引入时间分数阶相场模型以研究材料中的粗化动力学，表明有效自由能和粗糙度遵循普适的幂律标度规律，其中标度指数与分数阶阶数 α 呈线性正比关系。在 Cahn-Hilliard 和分子束外延（MBE）模型中的数值验证表明，能量衰减为 O(t⁻ᵅ⁄³) 或 O(t⁻ᵅ⁄⁴)，粗糙度增长为 O(tᵃ⁄²) 或 O(tᵃ⁄³)，具体取决于模型，揭示了通过调节 α 可实现粗化速率的可调性。

ABSTRACT

In this paper, we study the phase field models with fractional-order in time. The phase field models have been widely used to study coarsening dynamics of material systems with microstructures. It is known that phase field models are usually derived from energy variation so that they obey some energy dissipation laws intrinsically. Recently, many works have been published on investigating fractional-order phase field models, but little is known of the corresponding energy dissipation laws. We focus on the time-fractional phase field models and report that the effective free energy and roughness obey a universal power-law scaling dynamics during coarsening. Mainly, the effective free energy and roughness in the time-fractional phase field models scale by following a similar power law as the integer phase field models, where the power is linearly proportional to the fractional order. This universal scaling law is verified numerically against several phase field models, including the Cahn-Hilliard equations with different variable mobilities and molecular beam epitaxy models. This new finding sheds light on potential applications of time fractional phase field models in studying coarsening dynamics and crystal growths.

研究动机与目标

• 通过识别粗化过程中的普适标度规律，为时间分数阶相场模型建立理论基础。
• 研究分数阶阶数 α 如何影响相场系统中的能量耗散与表面粗糙度。
• 数值验证时间分数阶模型中的幂律标度是否与整数阶模型一致，但具有依赖于 α 的指数。
• 探索分数阶微积分在模拟微观结构演化中记忆效应的潜力。
• 开发一种能够模拟长时间、高维时间分数阶相场动力学的鲁棒数值格式。

提出的方法

• 使用时间上的 Caputo 分数阶导数，构建时间分数阶 Cahn-Hilliard 模型与分子束外延（MBE）模型。
• 采用一种快速算法计算 Caputo 分数阶导数，以实现高效的时间离散化。
• 应用傅里叶谱方法进行空间离散化，以保证高精度。
• 开发一种全离散、线性且无条件稳定的数值格式，适用于长时间模拟。
• 在双对数图上实施最小二乘拟合，从模拟得到的能量与粗糙度数据中提取标度指数。
• 在多个模型上进行验证：具有常数与可变迁移率的 Cahn-Hilliard 模型，具有与不具有斜率选择的 MBE 模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间分数阶相场模型在粗化过程中是否表现出与整数阶模型类似的普适幂律标度？
• RQ2 分数阶阶数 α 如何影响有效自由能与表面粗糙度的标度指数？
• RQ3 时间分数阶模型中的标度律是否能以线性方式与分数阶阶数 α 定量关联？
• RQ4 当 α → 1 时，时间分数阶模型的数值结果是否能恢复已知的整数阶标度行为？
• RQ5 所提出的数值格式在长时间、高维时间分数阶相场系统模拟中是否高效且稳定？

主要发现

• 在具有常数迁移率的时间分数阶 Cahn-Hilliard 模型中，有效自由能的标度为 O(t⁻ᵅ⁄³)，与整数阶模型的已知 t⁻¹⁄³ 标度一致。
• 在具有相位依赖迁移率 λ = λ₀|1−φ²| 的时间分数阶 Cahn-Hilliard 模型中，能量衰减为 O(t⁻ᵅ⁄⁴)，与整数阶对应模型的 t⁻¹⁄⁴ 标度相匹配。
• 在具有斜率选择的时间分数阶 MBE 模型中，能量衰减为 O(t⁻ᵅ⁄³)，粗糙度增长为 O(tᵃ⁄³)，当 α = 1 时，保持了整数模型的 t⁻¹⁄³ 与 t¹⁄³ 标度。
• 在不具有斜率选择的时间分数阶 MBE 模型中，粗糙度以 O(tᵃ⁄²) 增长，这将整数阶模型的 t¹⁄² 标度推广到了分数阶 α。
• 标度指数与 α 呈线性正比关系，表明通过调节分数阶阶数可调控粗化速率。
• 数值结果在多个模型中均证实了普适的幂律标度，验证了时间分数阶相场动力学的理论框架。