[论文解读] On Problems Equivalent to (min,+)-Convolution

Künnemann, Marvin, Paturi, Ramamohan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Optimization and Search Problems被引用 25

一句话总结

该论文将 (min,+) 卷积确立为细粒度复杂性中的核心难解假设，证明其与 0/1 背包问题、无界背包问题、超可加性测试以及树稀疏性等关键问题存在亚二次等价性。作者表明，若任一这些问题存在亚二次算法，将推翻 (min,+) 卷积猜想；同时他们证明，将此假设替换为 SETH 并非总是可行，原因在于非确定性归约存在局限性。

ABSTRACT

In the recent years, significant progress has been made in explaining apparent hardness of improving over naive solutions for many fundamental polynomially solvable problems. This came in the form of conditional lower bounds -- reductions from a problem assumed to be hard. These include 3SUM, All-Pairs Shortest Paths, SAT and Orthogonal Vectors, and others. In the (min,+)-convolution problem, the goal is to compute a sequence c, where c[k] = min_i a[i]+b[k-i], given sequences a and b. This can easily be done in O(n^2) time, but no O(n^{2-eps}) algorithm is known for eps > 0. In this paper we undertake a systematic study of the (min,+)-convolution problem as a hardness assumption. As the first step, we establish equivalence of this problem to a group of other problems, including variants of the classic knapsack problem and problems related to subadditive sequences. The (min,+)-convolution has been used as a building block in algorithms for many problems, notably problems in stringology. It has also already appeared as an ad hoc hardness assumption. We investigate some of these connections and provide new reductions and other results.

研究动机与目标

• 将 (min,+) 卷积确立为细粒度复杂性中的基础难解假设。
• 通过新归约证明 (min,+) 卷积与 0/1 背包问题、无界背包问题及超可加性测试等基本问题之间的亚二次等价性。
• 研究用 SETH 或 OV 取代 (min,+) 卷积猜想在难解性归约中的局限性。
• 提出新归约并改进现有归约，尤其针对判定型问题和非确定性算法。
• 明确通过从 SAT 或 SETH 的确定性归约所能排除的边界。

提出的方法

• 提出 (min,+) 卷积猜想：对于取值在 [−W, W] 内的整数序列，不存在 O(n²−ε polylog(W)) 的算法。
• 通过新颖的归约建立 (min,+) 卷积与 0/1 背包问题、无界背包问题及超可加性测试之间的亚二次等价性。
• 使用 MaxConv（MinConv 的对偶问题）以获得更清晰的证明，理解上可通过符号取反实现结果转移。
• 分析判定型变体：MaxConv UpperBound 和 MaxConv LowerBound，证明其在亚二次归约下与 MinConv 等价。
• 应用 MaxConv 的快速 O(n²/2Ω(√log n)) 算法，推导出所有等价问题的亚二次算法。
• 使用非确定性算法和 NSETH 证明，从 SETH 到背包问题的某些归约可能性较低，凸显基于 SETH 的难解性归约的局限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在亚二次归约下，(min,+) 卷积是否与 0/1 背包问题和无界背包问题等价？
• RQ2 即使 SETH 无法适用，(min,+) 卷积猜想是否仍可用于排除背包问题的确定性亚二次算法？
• RQ3 为何在某些问题中，用 SETH 取代 (min,+) 卷积假设存在问题？
• RQ4 如 MaxConv UpperBound 等 (min,+) 卷积的判定型版本是否与原问题等价？
• RQ5 (min,+) 卷积猜想是否强于正交向量或 SETH 猜想？

主要发现

• (min,+) 卷积问题与 0/1 背包问题、无界背包问题、超可加性测试及树稀疏性问题存在亚二次等价性。
• 若存在 O((n + t)²−ε) 的 0/1 背包问题算法，将推翻 (min,+) 卷积猜想，从而提供新的条件性下界。
• 对于无界背包问题的判定型版本，存在一个非确定性 O(t√n log³(W)) 算法，意味着在 NSETH 下，从 SETH 到该问题的确定性归约可能性较低。
• 假设 (min,+) 卷积不存在 O(n²−ε polylog(W)) 算法的猜想，强于 3SUM 和 APSP 猜想。
• MaxConv 存在快速 O(n²/2Ω(√log n)) 算法，意味着首次获得了超可加性测试的已知亚二次算法，以及树稀疏性问题的改进精确算法。
• 该论文表明，将 (min,+) 卷积假设替换为 SETH 作为难解性假设并非总是可行，尤其对于具有非平凡非确定性算法的问题。