[论文解读] On processes which are infinitely divisible with respect to time

Roger Mansuy|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文引入并表征了IDT（关于时间无限可分）过程——一类通过满足时间尺度不变性性质而推广了Lévy过程的随机过程：对于任意n，过程(X_{nt})与n个独立同分布的(X_t)之和具有相同的有限维分布。主要贡献在于通过其协方差结构，对高斯IDT过程进行了完整表征，表明其等价于满足布朗运动缩放性质且其Lamperti变换具有平稳性的过程。本文进一步表明，IDT过程与Lévy过程具有相同的单维边际分布，但在路径行为上可能显著不同。

ABSTRACT

The aim of this short note is to present the notion of IDT processes, which is a wide generalization of Lévy processes obtained from a modified infinitely divisible property. Special attention is put on a number of examples, in order to clarify how much the IDT processes either differ from, or resemble to, Lévy processes.

研究动机与目标

• 定义并研究关于时间无限可分（IDT过程）的随机过程类，将其扩展至经典Lévy过程之外。
• 阐明IDT过程与Lévy过程之间的结构性差异与相似性，尤其是在高斯情形下。
• 通过协方差结构、Lamperti变换和谱测度，对高斯IDT过程提供完整表征。
• 表明IDT过程与在t=1时刻具有相同边际分布的Lévy过程具有相同的单维有限维分布。
• 通过现有IDT过程的时间积分和跳跃泛函构造新的IDT过程。

提出的方法

• 通过如下性质定义IDT过程：对所有n ∈ ℕ*，(X_{nt}; t ≥ 0) =_d (X^{(1)}_t + ... + X^{(n)}_t; t ≥ 0)，其中X^{(i)}是X的独立同分布副本。
• 使用Lamperti变换（X_t → e^{-ht}X_{e^t}）将自相似过程转换为平稳过程，从而实现谱表征。
• 应用Bochner定理，通过ℝ上的正、有限、对称测度μ表示平稳的Lamperti变换过程。
• 通过时间积分构造例子：若X是IDT且μ是ℝ₊上的测度，则X^{(μ)}_t = ∫ μ(du) X_{ut}是IDT。
• 通过满足f(·,0) ≡ 0的函数f，定义基于跳跃的IDT过程：f(v, ΔX_{vt})。
• 利用缩放性质c(αs, αt) = α c(s,t)表征IDT高斯过程，并将其与布朗运动缩放性质及Lamperti变换的平稳性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些高斯过程满足IDT性质？其协方差函数的精确表征是什么？
• RQ2 IDT过程在路径正则性和样本路径行为方面与Lévy过程有何不同？
• RQ3 能否通过时间积分或跳跃泛函从Lévy过程构造IDT过程，同时保持IDT性质？
• RQ4 IDT过程与在单维边际上与Lévy过程相同的IDT过程在有限维分布或路径结构上有多大差异？
• RQ5 IDT高斯过程的协方差函数的谱表示在ℝ上的正测度下如何表达？

主要发现

• 所有Lévy过程都是IDT，但IDT过程类严格更大，包含非马氏性、非独立增量过程。
• 一个中心化高斯过程是IDT当且仅当其协方差函数满足c(αs, αt) = α c(s,t)对所有α > 0及0 ≤ s ≤ t成立。
• IDT高斯过程的性质等价于布朗运动缩放性质：(G_{αt}; t ≥ 0) =_d (√α G_t; t ≥ 0)。
• IDT高斯过程的Lamperti变换是平稳的，其协方差函数形式为∫ μ(du) e^{iu|y−z|}，其中μ是ℝ上的正、有限、对称测度。
• 对于由G^{(φ)}_t = ∫₀^∞ φ(u/t) dB_u定义的过程，若φ ∈ L²(ℝ₊)，则其为IDT，且谱测度μ可从核的傅里叶变换显式计算得出。
• 与Lamperti变换过程相关的谱测度μ满足：∫ μ(dy) e^{iy√(2λ)}是正随机变量A的拉普拉斯变换，且μ是β_A的分布，其中β是标准布朗运动。