[论文解读] On projectivized vector bundles and positive holomorphic sectional curvature

A. Rodriguez Alvarez, Gordon Heier+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文将Hitchin的构造推广，证明了任意紧致凯勒流形上具有正全纯截面曲率的全纯向量丛的射影化包，均 admits 一个具有正全息截面曲率的凯勒度量。证明使用了射影化丛上的自然Hermitian度量，并通过在某点的曲率张量估计表明：当参数λ充分大时，全息截面曲率仍保持为正。

ABSTRACT

We generalize a construction of Hitchin to prove that, given any compact Kähler manifold $M$ with positive holomorphic sectional curvature and any holomorphic vector bundle $E$ over $M$, the projectivized vector bundle ${\mathbb P}(E)$ admits a Kähler metric with positive holomorphic sectional curvature.

研究动机与目标

• 将Hitchin在Hirzebruch曲面上关于正全息截面曲率的结果推广至任意紧致凯勒流形上具有正全息截面曲率的射影化向量丛。
• 在集合 $\mathcal{H}_n^\prime$（即 admits 凯勒度量且具有正全息截面曲率的紧致复流形）中建立一类新的紧致复流形。
• 提供一种构造性方法，通过丛构造生成具有正全息截面曲率的新流形例子。
• 探索正全息截面曲率在全纯向量丛射影化下的稳定性。
• 为理解高维中正全息截面曲率的更广泛几何与拓扑影响奠定基础。

提出的方法

• 在 $P = \mathbb{P}(E)$ 上构造一个闭的 (1,1)-形式 $\omega_G = \lambda \pi^*\omega_g + \sqrt{-1} \partial\bar\partial \log h(v,\bar v)$，其中 $\lambda > 0$ 为大参数。
• 从 $M$ 上的凯勒度量 $g$ 和 $E$ 上的Hermitian度量 $h$ 导出 $P$ 上的诱导Hermitian度量 $G$。
• 使用局部坐标和度量 $h$ 的二阶导数，在点 $p \in P$ 处计算度量 $G$ 的曲率张量 $R$。
• 对非零的 $(1,0)$-向量 $V = X + U$（其分量分别位于基空间和纤维方向）计算全息截面曲率 $R_{V\bar V V\bar V}$。
• 利用分解式 $R_{V\bar V V\bar V} \geq (\lambda H_0 - C)|X|^4 - 8C|X|^2|U|^2 + 2|U|^4 - 4C|X|^3|U|$ 进行曲率估计，其中 $H_0 > 0$ 为 $g$ 的最小全息截面曲率。
• 证明当 $\lambda$ 足够大时，对所有非零 $V$，该表达式为正，从而证明 $P$ 上具有正全息截面曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hitchin在Hirzebruch曲面上构造正全息截面曲率的方法能否推广至任意紧致凯勒流形上具有正全息截面曲率的射影化向量丛？
• RQ2 全纯向量丛 $E$ 在紧致凯勒流形 $M$ 上的射影化 $\mathbb{P}(E)$ 是否继承一个具有正全息截面曲率的凯勒度量？
• RQ3 参数 $\lambda$ 需满足何种条件，才能保证 $\mathbb{P}(E)$ 上诱导度量的全息截面曲率保持为正？
• RQ4 基流形与纤维丛的曲率如何在全空间的全息截面曲率中相互作用？
• RQ5 若全息截面曲率的正性成立，此类流形的点吹破是否也具有正数量曲率度量？

主要发现

• 任意紧致凯勒流形 $M$ 上具有正全息截面曲率的全纯向量丛 $\mathbb{P}(E)$ 的射影化包，均 admits 一个具有正全息截面曲率的凯勒度量。
• 该构造依赖于 $\mathbb{P}(E)$ 上的一族单参数度量，其中参数 $\lambda$ 控制基度量的贡献，且当 $\lambda$ 足够大时，可确保全息截面曲率的正性。
• 在 $\mathbb{P}(E)$ 上诱导度量的全息截面曲率被一个关于切向量基与纤维分量的四次型下界控制，当 $\lambda$ 足够大时该下界为正。
• 该结果可推广至Grassmannian丛 $G_k(E)$，其可全纯且等距地嵌入 $\mathbb{P}(\Lambda^k E)$，因此也 admits 具有正全息截面曲率的度量。
• 推论1.3表明，当 $\dim \mathbb{P}(E) > 2$ 时，$\mathbb{P}(E)$ 的任意有限个点吹破均 admits 一个正数量曲率的凯勒度量。
• 证明依赖于在某点使用 $E$ 上Hermitian度量 $h$ 的二阶导数进行曲率估计，并表明曲率表达式中的主导项受 $\lambda H_0$ 控制，其中 $H_0 > 0$ 为基流形的最小全息截面曲率。