[论文解读] On Redundancy in Constraint Satisfaction Problems

Carbonnel, Clément|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

semigroups and automata theory参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文引入了一类部分多态性——pSDI-运算——以对符号对称约束满足问题（CSP）的复杂性进行分类，表明由k-通用运算保持的语言可获得改进的算法（例如，通过折半查找或矩阵乘法），而未被任何此类运算保持的语言则为SETH难解。关键贡献在于建立了一种结构化表征，将代数不变量与细致复杂性联系起来，且在SETH假设下给出了紧致的上下界。

ABSTRACT

A constraint language Γ has non-redundancy f(n) if every instance of CSP(Γ) with n variables contains at most f(n) non-redundant constraints. If Γ has maximum arity r then it has non-redundancy O(n^r), but there are notable examples for which this upper bound is far from the best possible. In general, the non-redundancy of constraint languages is poorly understood and little is known beyond the trivial bounds Ω(n) and O(n^r). In this paper, we introduce an elementary algebraic framework dedicated to the analysis of the non-redundancy of constraint languages. This framework relates redundancy-preserving reductions between constraint languages to closure operators known as pattern partial polymorphisms, which can be interpreted as generic mechanisms to generate redundant constraints in CSP instances. We illustrate the power of this framework by deriving a simple characterisation of all languages of arity r having non-redundancy Θ(n^r).

研究动机与目标

• 确定SAT(Γ)在何种条件下可获得指数级改进的算法（即c(Γ) < 2），其中Γ为无限约束语言。
• 理解代数不变量——特别是部分多态性——在决定CSP的细致复杂性中的作用。
• 提出一个二分猜想：SAT(Γ)存在改进算法当且仅当Γ被某个非平凡的pSDI-运算所保持。
• 在强指数时间假设（SETH）下，为SAT(Γ)的运行时间提供上下界。

提出的方法

• 引入pSDI-运算：保持约束语言Γ的部分、自对偶且幂等的运算。
• 将pSDI-运算的层级划分为k ≥ 2的层次，其中k-通用运算uk为每级中最富表达力的运算。
• 利用代数不变量的概念（Inv(p)）定义约束语言Γ = Inv(p)，将多态性闭包与算法可解性联系起来。
• 对被特定pSDI-运算保持的语言应用已知的算法技术（如折半查找、快速矩阵乘法）。
• 通过填充构造证明下界，表明若SETH不成立，则Γ = Inv(p)的SAT(Γ)无法在O*(cₙᵏ)时间以内求解。
• 利用基于SETH的下界框架，为层级中每一级k建立紧致的复杂性边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些约束语言Γ，SAT(Γ)可获得运行时间为O*(cⁿ)（c < 2）的改进算法？
• RQ2 部分多态性——特别是pSDI-运算——在决定此类改进算法存在性方面起什么作用？
• RQ3 是否存在一个非平凡的pSDI-运算可保证改进算法？若存在，其成立条件为何？
• RQ4 是否存在一个完整的二分法：基于代数不变量，SETH难解与可高效求解的SAT(Γ)问题之间是否存在明确划分？
• RQ5 能否将多项式约束（如有界次数的多元多项式）的改进算法推广至其他pSDI-运算？

主要发现

• 被部分2-边运算保持的语言可通过折半查找策略求解，类似于子集和问题。
• 被部分3-NU运算保持的语言可利用快速矩阵乘法获得改进的运行时间。
• k-通用运算uk刻画了第k级中最难的类；若Γ不被任何k的uk保持，则SAT(Γ)为SETH难解。
• 对每个层级k，存在常数ck，使得对于任意属于第k级的p，Γ = Inv(p)的SAT(Γ)无法在O*(cₙᵏ)时间以内求解，除非SETH不成立。
• 由有界次数多元多项式根定义的约束类由k-通用运算捕获，并可通过Lokshtanov等人方法获得改进算法。
• 本文猜想：SAT(Γ)存在改进算法当且仅当Γ被某个常数k的uk保持，但该猜想仍待证明。