[论文解读] On relations between extreme value statistics, extreme random matrices and Peak-Over-Threshold method

Jacek Grela, Maciej A. Nowak|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文通過薄化方法，建立了經典極值統計與其自由概率類比之間的理論聯繫，證明自由極值分佈（Weibull、Fréchet、Gumbel）在峰值超過門檻值框架下恰好對應於廣義帕累托分佈。文章推導出經典極值分佈與自由極值分佈之間的顯式指數關係，並提供了實現每一種自由極限定律的顯式隨機矩陣系綜。

ABSTRACT

Using the \emph{thinning method}, we explain the link between classical Fisher-Tippett-Gnedenko classification of extreme events and their free analogue obtained by Ben Arous and Voiculescu in the context of free probability calculus. In particular, we present explicit examples of large random matrix ensembles, realizing free Weibull, free Fr\'{e}chet and free Gumbel limiting laws, respectively. We also explain, why these free laws are identical to Balkema-de Haan-Pickands limiting distribution for exceedances, i.e. why they have the form of generalized Pareto distributions and derive a simple exponential relation between classical and free extreme laws.

研究动机与目标

• 釐清隨機矩陣理論中經典極值理論與其自由概率對應理論之間的關係。
• 識別出明確的大隨機矩陣系綜，以實現自由 Weibull、Fréchet 和 Gumbel 極限定律。
• 證明自由極值分佈與超過門檻值的 Balkema-de Haan-Pickands 分佈（即廣義帕累托分佈）完全一致。
• 推導出經典極值分佈與其自由類比之間的簡單指數關係。
• 透過薄化程序，統一峰值超過門檻值方法與自由概率論。

提出的方法

• 將薄化方法應用於隨機矩陣系綜的背景中，以建立經典與自由極值分佈之間的對應關係。
• 透過自由概率微積分中的薄化變換，將經典極值分佈（Gumbel、Fréchet、Weibull）映射至其自由類比。
• 構造出明確的隨機矩陣系綜，以實現三種自由極值分佈：自由 Weibull、自由 Fréchet 和自由 Gumbel。
• 本文證明，在峰值超過門檻值方法中，極值超過門檻值的極限定律恰好對應於自由極值分佈，而這些分佈即為廣義帕累托分佈。
• 推導出經典極值分佈與其自由對應分佈之間的指數關係，從數學上連結兩套理論框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在隨機矩陣的背景下，經典極值分佈與其自由概率類比之間有何關係？
• RQ2 自由極值分佈是否與峰值超過門檻值方法中出現的廣義帕累托分佈相符？
• RQ3 哪些明確的隨機矩陣系綜能實現自由 Weibull、Fréchet 和 Gumbel 分佈？
• RQ4 經典與自由極值分佈之間的函數關係為何？
• RQ5 薄化方法能否在極值順序統計的背景下，統一經典極值理論與自由概率論？

主要发现

• 證明自由極值分佈（Weibull、Fréchet、Gumbel）與峰值超過門檻值方法中推導出的廣義帕累托分佈完全相同。
• 構造出明確的大隨機矩陣系綜，其極限收斂於三種自由極值分佈。
• 峰值超過門檻值框架中極值超過門檻值的極限定律，在數學上等價於自由極值分佈。
• 推導出經典極值分佈與其自由類比之間的顯式指數關係。
• 薄化方法成功在隨機矩陣的背景下，為經典極值統計與自由概率論之間建立理論橋樑。