[论文解读] On Rho invariants of fiber bundles

Michael Bohn|ArXiv.org|Jul 21, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 59被引用 3

一句话总结

该论文通过纤维丛的eta不变量的绝热极限，推导出总空间Rho不变量的一般公式，将该不变量分解为三个独立的项：纤维积分的高阶Rho不变量、带有垂直上同调上平坦联络的基空间的Rho不变量，以及来自Leray谱序列的拓扑项。该公式使得对3-流形（包括圆丛和双曲单值化映射环面）的显式计算成为可能，其中广义Dedekind eta函数自然出现。

ABSTRACT

Using adiabatic limits of Eta invariants, Rho invariants of the total space of a fiber bundle are investigated. One concern is to formulate the aspects of local index theory for families of Dirac operator in terms of the odd signature operator, and place known results in a context which permits the treatment of Rho invariants. The main focus is, however, to use this to compute Rho invariants for explicit classes of fibered 3-manifolds. More precisely, we consider $\U(1)$-Rho invariants of principal $S^1$-bundles over closed, oriented surfaces as well as mapping tori with torus fiber. Hyperbolic monodromy maps deserve particular attention. When discussing them, the logarithm of a generalized Dedekind Eta function naturally appears. An explicit formula for $\U(1)$-Rho invariants is then deduced from a transformation formula for these Dedekind Eta functions.

研究动机与目标

• 通过分析eta不变量的绝热极限，推导纤维丛总空间Rho不变量的一般公式。
• 将Rho不变量分解为三个在物理和拓扑上具有明确意义的分量：纤维积分的谱项、带有平坦联络的基空间Rho不变量，以及来自Leray谱序列的拓扑项。
• 将该理论框架应用于计算3维纤维化流形（包括S¹丛和映射环面）的U(1)-Rho不变量。
• 将该一般公式与S¹丛的已有方法进行比较，验证其系统性优势。
• 在环面丛上双曲单值化的情形下，推导U(1)-Rho不变量的显式公式，并将其与广义Dedekind eta函数联系起来。

提出的方法

• 在纤维丛上使用绝热度量，研究基空间几何趋于大尺度的极限情形，将丛近似为积空间。
• 应用Bismut的族Dirac算子局部指标理论，将其重新表述为奇数符号算子形式，以处理Rho不变量。
• 采用传导与绝热极限技术，将总空间的eta不变量与纤维和基空间的贡献关联起来。
• 在垂直上同调群丛上引入平坦联络，以定义基空间层面的Rho不变量。
• 利用Leray谱序列提取分解中的拓扑项。
• 利用广义Dedekind eta函数的变换公式，计算双曲映射环面情形下的Rho不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 纤维丛总空间的Rho不变量如何分解为纤维、基空间和整体拓扑的贡献？
• RQ2 绝热极限在将总空间的eta不变量与纤维和基空间的不变量关联中起什么作用？
• RQ3 Rho不变量的一般公式与U(1)-丛在曲面上的已知结果相比如何？
• RQ4 3维映射环面在双曲单值化情形下，U(1)-Rho不变量的显式形式是什么？
• RQ5 广义Dedekind eta函数在双曲环面丛的Rho不变量计算中以何种方式自然出现？

主要发现

• 总空间的Rho不变量分解为三项：纤维积分的高阶Rho不变量、带有垂直上同调上平坦联络的基空间Rho不变量，以及来自Leray谱序列的拓扑项。
• 对于S¹丛在曲面上的情形，一般公式重现了已知结果，验证了其一致性和相较于直接计算的系统性优势。
• 在有限阶单值化情形下，推导出3维映射环面U(1)-Rho不变量的一般公式。
• 在环面丛上双曲单值化的情形下，U(1)-Rho不变量通过广义Dedekind eta函数的变换公式表达。
• 证明了eta不变量在光滑扰动下的变化是连续可微的，其精确公式涉及超连接与热核系数。
• 约化ξ-不变量在有限秩扰动下保持不变，其变化由谱流加上ξ-不变量沿族的导数的积分给出。