[论文解读] On sampling diluted Spin-Glasses with unbounded interactions

Charilaos Efthymiou, Kostas Zampetakis|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2026

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 0

一句话总结

本文分析在 G(n,d/n) 上的 2 自旋梯度玻尔 spin-glass，采用 Glauber 动力学对高斯耦合进行采样，证明在 beta 至 beta_c(d) 的情况下存在快速混合界 O(n^{1+25/√log d})，其中 beta_c(d) 由 d E[tanh^2(gamma beta_c)]=1/4 定义；并将结果推广到 Viana-Bray，在 beta ≤ 0.25/√d 时成立。

ABSTRACT

Spin-glasses are natural Gibbs distributions that have been studied in Theoretical CS for many decades. Recently, they have been gaining attention from the community as they emerge naturally in neural computation and learning, network inference, optimisation and other areas. We study the problem of efficiently sampling from spin-glass distributions when the underlying graph is a typical instance of $G(n,d/n)$, i.e., the random graph on $n$ vertices such that each edge appears independently with probability $d/n$, and $d=Θ(1)$. Our focus is on the 2-spin model at inverse temperature $β$. We consider this distribution to be one of the most interesting case of spin-glasses, and one of the most challenging to analyse, since its Gaussian couplings give rise to unbounded interaction. We employ the well-known Glauber dynamics to sample from the aforementioned distribution. We show that for the typical instances of the 2-spin model on $G(n,d/n)$, the mixing time of Glauber dynamics is $O\left(n^{1+\frac{25}{\sqrt{\log d}}} ight)$, for any $β<\frac{1}{4\sqrt{d}}$. Our results can also be adapted for the case of spin-glass distributions with bounded interactions. In that respect, we obtain rapid mixing of Glauber dynamics for the Viana-Bray model on $G(n,d/n)$ when $β<\frac{1}{4\sqrt{d}}$. This improves on the current best bound which is $β<\frac{0.18}{\sqrt{d}}$. We utilise stochastic localisation, and in particular, we build and improve on the scheme introduced in [Liu, Mohanty, Rajaraman and Wu: FOCS 2024]. This is the first time that stochastic localisation is used for diluted spin-glasses, where both degrees and interactions can be unbounded.

研究动机与目标

• 使用 Glauber 动力学对 G(n,d/n) 上的 2 自旋模型的吉布斯分布进行采样的效率研究。
• 确定能够实现快速混合的温度(beta)区间。
• 将结果扩展到相关模型，如 Viana-Bray 和有界相互作用的情形。
• 开发并应用带有新区块划分和矩阵范数的随机定位，以处理无界相互作用。

提出的方法

• 使用 Glauber 动力学对 G(n,d/n) 上的 2 自旋模型的吉布斯分布进行采样。
• 通过 d E[(tanh(gamma beta))^2]=1/4 定义 beta_c(d)，并证明对 beta ≤ beta_c(d) 的混合界。
• 应用随机定位来界定沿定位路径的修正对数-里斯福常数 (C_mLSI) 的界。
• 引入复杂的 epsilon-区块顶点划分和定制的矩阵范数，以在无界相互作用下界控协方差相关量。
• 利用基于区块的分析，其中坏部分诱导简单子图（至多有一条额外边的树），以控制熵的衰减。
• 证明得到的混合时间界在高概率下为 n^{1+25/√(log d)}。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 beta 范围能确保 G(n,d/n) 的高斯耦合下 2 自旋模型的 Glauber 动力学快速混合？
• RQ2 如何将随机定位方法改造以处理稀疏自旋玻璃中的无界相互作用和度分布？
• RQ3 哪种划分与矩阵范数技术最有效地在定位路径上控制熵衰减与协方差？
• RQ4 结果是否可扩展至 Viana-Bray 以及亚高斯耦合分布，并给出改进的界？

主要发现

• 当 beta ≤ beta_c(d) 且 d E[(tanh(gamma beta_c))^2] = 1/4 时，Glauber 动力学对典型的 G(n,d/n) 实例的混合时间为 O(n^{1+25/√log d})。
• beta_c(d) 的界提供了与高斯耦合和度 d 相关的具体阈值。
• 该方法对 Viana-Bray 模型在 beta ≤ 0.25/√d 时也给出快速混合，且改进了之前的界（0.18/√d）。
• 结果也扩展到亚高斯耦合，不仅限于高斯。
• 引入新的 epsilon-区块划分与定制矩阵范数，尽管存在无界相互作用，仍能有效界控熵衰减。
• 随机定位是实现这些界在稀疏、无界相互作用下的核心工具。