[论文解读] On secant loci and simple linear projections of some projective varieties

Euisung Park|ArXiv.org|Aug 14, 2008

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文研究了满足 Green-Lazarsfeld 的性质 $N_p$（$p \geq 2$）的射影簇的线性投影在投影中心 $q$ 位于簇外时的行为。结果表明，切触轨迹 $Σ_q(X)$——即其弦线通过投影中心 $q$ 的 $X$ 上的点的集合——要么为空，要么为一个二次曲面，且投影簇 $X_q$ 的上同调与局部不变量完全由 $Σ_q(X)$ 决定。关键贡献在于给出了一个精确公式，将 $X_q$ 的深度与 Hilbert 函数与 $Σ_q(X)$ 的维数联系起来，该结果在 Veronese 嵌入与 Segre 嵌入以及低次曲面中具有应用。

ABSTRACT

In this paper, we study how simple linear projections of some projective varieties behave when the projection center runs through the ambient space. More precisely, let $X \subset ¶^r$ be a projective variety satisfying Green-Lazarsfeld's property $N_p$ for some $p \geq 2$, $q \in ¶^r$ a closed point outside of $X$, and $X_q := π_q (X) \subset ¶^{r-1}$ the projected image of $X$ from $q$. First, it is shown that the secant locus $Σ_q (X)$ of $X$ with respect to $q$, i.e. the set of all points on $X$ spanning secant lines passing through $q$, is either empty or a quadric in a subspace of $¶^r$. This implies that the finite morphism $π_q : X o X_q$ is birational. Our main result is that cohomological and local properties of $X_q$ are precisely determined by $Σ_q (X)$. To complete this result, the next step should be to classify all possible secant loci and to decompose the ambient space via the classification of secant loci. We obtain such a decomposition for Veronese embeddings and Segre embeddings. Also as an application of the main result, we study cohomological properties of low degree varieties.

研究动机与目标

• 理解投影中心 $q$ 在射影簇 $X \subset \mathbb{P}^r$ 外时，其线性投影 $X_q \subset \mathbb{P}^{r-1}$ 的上同调与局部性质如何受到影响。
• 对切触轨迹 $\u03a3_q(X)$——即其弦线通过 $q$ 的 $X$ 上的点的集合——进行分类，并利用它来确定 $X_q$ 的几何与代数不变量。
• 将关于同构投影与 Castelnuovo-Mumford 正则性的结果推广至满足 $p \geq 2$ 时的 $N_p$ 性质的簇。
• 基于 $Σ_q(X)$ 的维数，将环境空间 $\mathbb{P}^r$ 分解为切触层 $SL_s(X)$，尤其针对 Veronese 与 Segre 嵌入。

提出的方法

• 将切触轨迹 $\u03a3_q(X)$ 定义为 $X$ 上其弦线通过投影中心 $q$ 的点的集合。
• 证明 $\u03a3_q(X)$ 要么为空，要么为 $\mathbb{P}^r$ 中某个线性子空间内的二次曲面，从而推出投影 $\pi_q: X \to X_q$ 是双有理的。
• 建立关键公式：$h^0(\mathcal{I}_{X_q}(2)) = h^0(\mathcal{I}_X(2)) + s - r$ 与 $\operatorname{depth}(X_q) = \min\{\operatorname{depth}(X), s+2\}$，其中 $s = \dim \u03a3_q(X)$。
• 利用上同调消去假设（例如，$H^i(X, \mathcal{O}_X(j)) = 0$ 对 $1 \leq i \leq n-1$，$j \leq -i$）推导出深度与正则性结果。
• 将主要定理应用于分类 Veronese 与 Segre 嵌入的切触分层 $SL_s(X)$，将 $\mathbb{P}^r$ 分解为以 $s$ 索引的层。
• 利用一般线性曲线截面下保持分次 Betti 图形的性质，计算 $X_q$ 的极小自由解析式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过切触轨迹 $\u03a3_q(X)$ 的维数来确定投影簇 $X_q$ 的上同调不变量？
• RQ2 在何种条件下投影 $\pi_q: X \to X_q$ 是双有理的，且 $\u03a3_q(X)$ 的结构如何控制这一性质？
• RQ3 如何精确描述 $X_q$ 的 Castelnuovo-Mumford 正则性与 $X$ 的正则性之间的关系？
• RQ4 如何基于 $\u03a3_q(X)$ 的维数对环境空间 $\mathbb{P}^r$ 进行分层，各层的几何性质是什么？
• RQ5 在多大程度上 $X_q$ 的局部性质（例如，正规性、$S_2$、Cohen-Macaulay）反映了 $X$ 在 $\u03a3_q(X)$ 中点的性质？

主要发现

• 切触轨迹 $\u03a3_q(X)$ 要么为空，要么为 $\mathbb{P}^r$ 中某个线性子空间内的二次曲面，这表明投影 $\pi_q: X \to X_q$ 是双有理的。
• 理想 $\mathcal{I}_{X_q}(2)$ 中的二次曲面数量为 $h^0(\mathcal{I}_{X_q}(2)) = h^0(\mathcal{I}_X(2)) + s - r$，其中 $s = \dim \u03a3_q(X)$。
• $X_q$ 的深度满足 $\operatorname{depth}(X_q) = \min\{\operatorname{depth}(X), s+2\}$，且 $X_q$ 当且仅当 $s = \dim X - 1$ 时为代数 Cohen-Macaulay。
• $X_q$ 的 Castelnuovo-Mumford 正则性为 $\max\{3, \operatorname{Reg}(X)\}$，且当 $X$ 满足性质 $N_2$ 时 $X_q$ 为 3-正则。
• 对于度数 $d \geq 5$ 的 Del Pezzo 品种，$X_k \subset \mathbb{P}^{k+3}$ 的切触分层为 $\mathbb{P}^{k+3} = SL_{k-2}(X_k) \cup SL_k(X_k)$，其中 $SL_{k-2}(X_k) = \mathbb{P}^{k+3} \setminus X_k$ 且 $SL_k(X_k) = X_k$。
• 在 $\mathbb{P}^{k+2}$ 中，$\pi_q(X_k)$ 的理想极小自由解析式为 $0 \to R(-5) \to R(-4)^5 \to R(-3)^5 \to I \to 0$，且 Betti 数在曲线截面下保持不变。