[论文解读] On self-similar sets with overlaps and inverse theorems for entropy in $\mathbb{R}^d$

Michael Hochman|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 24

一句话总结

本文在 $ m{R}^d$ 中为自相似集与自相似测度建立了结构性二分法：要么 Hausdorff 维数达到平凡上界 $ m{ ext{min}egin{Bmatrix} s,d \\ ext{\end{Bmatrix}}}$，要么存在超指数接近的 $n$ 重复合相似变换。其关键创新在于 $ m{R}^d$ 上卷积中熵增长的逆定理，该定理将维数下降与迭代函数系统（IFS）线性部分的几何集中性及对称性联系起来。

ABSTRACT

We study self-similar sets and measures on $\mathbb{R}^{d}$. Assuming that the defining iterated function system $Φ$ does not preserve a proper affine subspace, we show that one of the following holds: (1) the dimension is equal to the trivial bound (the minimum of $d$ and the similarity dimension $s$); (2) for all large $n$ there are $n$-fold compositions of maps from $Φ$ which are super-exponentially close in $n$; (3) there is a non-trivial linear subspace of $\mathbb{R}^{d}$ that is preserved by the linearization of $Φ$ and whose translates typically meet the set or measure in full dimension. In particular, when the linearization of $Φ$ acts irreducibly on $\mathbb{R}^{d}$, either the dimension is equal to $\min\{s,d\}$ or there are super-exponentially close $n$-fold compositions. We give a number of applications to algebraic systems, parametrized systems, and to some classical examples. The main ingredient in the proof is an inverse theorem for the entropy growth of convolutions of measures on $\mathbb{R}^{d}$, and the growth of entropy for the convolution of a measure on the orthogonal group with a measure on $\mathbb{R}^{d}$. More generally, this part of the paper applies to smooth actions of Lie groups on manifolds.

研究动机与目标

• 为解决 $ m{R}^d$ 中自相似集在重叠发生时的维数悖论，特别是当相似维数小于平凡上界时。
• 将此前仅在 $ m{R}$ 中已知的熵增长逆定理扩展至高维空间及群作用情形。
• 刻画自相似测度维数低于相似维数的条件，识别出可约性或复合变换的超指数接近性等结构性原因。
• 证明：对于不可约线性作用，维数下降意味着 $n$ 重复合变换的超指数接近性。
• 将该理论应用于经典问题，如伯努利卷积、谢尔宾斯基垫片以及参数族，证明在代数条件与不可约性条件下，修正后的猜想成立。

提出的方法

• 建立 $ m{R}^d$ 上测度卷积中熵增长的逆定理，将熵增长缓慢与测度在子空间上的集中性联系起来。
• 将该逆定理应用于等距群在 $ m{R}^d$ 上的作用，分析熵在群卷积下的行为。
• 利用多尺度分析与 Ka'imovich-Vershik 引理，控制重复自卷积中熵的衰减。
• 引入‘饱和子空间’的概念，即测度分量均匀集中于其上，将其与维数损失联系起来。
• 运用几何工具，如雅可比映射 $ m{ ext{\Delta}_{i,j}}$ 的秩，分析横截性并避免参数族中的退化现象。
• 应用加法组合论与代数数论的结果，特别是对代数数中非零多项式表达式的下界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ m{R}^d$ 中，自相似集的 Hausdorff 维数在何种条件下无法达到相似维数 $s$？
• RQ2 自相似集在重叠时出现的维数下降现象，能否通过迭代函数系统（IFS）的几何或动力学性质来刻画？
• RQ3 当 IFS 在 $ m{R}^d$ 上的线性部分不可约时，其对吸引子维数的影响有多大，特别是当其作用可约时？
• RQ4 是否存在自相似测度的结构性二分法：即维数为最大值，或存在超指数接近的 $n$ 重复合变换？
• RQ5 对于代数 IFS 或不可约作用，能否证明考虑不变子空间后的修正猜想？

主要发现

• 若 IFS 的线性化在 $ m{R}^d$ 上不可约，则自相似测度的维数要么为 $ m{ ext{min}egin{Bmatrix} s,d \\ ext{\end{Bmatrix}}}$，要么存在关于 $n$ 超指数接近的 $n$ 重复合变换。
• 当 IFS 保持一个非平凡线性子空间时，即使未保持整个空间，维数下降仍可能发生，且这与分量在该子空间上的饱和性有关。
• 对于线性部分不可约的代数 IFS，修正后的猜想成立：维数为最大值，除非存在超指数接近的复合变换。
• 维数低于预期值的参数集合是小的（例外集），该结论通过解析性及某些差值 $ m{ ext{\Delta}_{i,j}}$ 的非零性得以证明。
• 在 IFS 的参数族中，若对一般参数 IFS 是不可约的，则除一个极小的例外参数集外，维数均为最大值。
• 一个关键技术结果是：若 $f$ 是代数数中具有有界系数的多项式，则 $|f| > c^n$ 对某个 $c>0$ 成立，除非 $f=0$，该结果用于排除精确重叠。