[论文解读] On semilattices and lattices for families of theories

S. V. Sudoplatov|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文引入并研究了第一阶理论的 $E$-闭族的半格与格，重点在于通过 $P$-组合与 $E$-组合形成的结构。研究证明，具有最小生成集的理论族所构成的格是分配格，通过孤立类型与 $E$-闭包运算提供了结构表征。

ABSTRACT

We define and study semilattices and lattices for $E$-closed families of theories. Properties of these semilattices and lattices are investigated. It is shown that lattices for families of theories with least generating sets are distributive.

研究动机与目标

• 定义并分析 $E$-闭第一阶理论族的半格与格。
• 研究此类格的结构性质，特别是具有最小生成集时的情形。
• 建立最小生成集存在性与所生成格的分配性之间的联系。
• 形式化 $E$-可表示性与 $e$-完备化的概念，用于 $E$-组合的理论。
• 通过其最小生成集表征 $E$-闭族的布尔代数结构。

提出的方法

• 引入 $P$-算子与 $E$-算子，以构造结构及其理论的 $P$-组合与 $E$-组合。
• 定义 $E$-闭理论族，并在该类族中引入最小生成集的概念。
• 利用 $E$-闭包运算，定义 $E$-闭族上的格运算 $\wedge^\prime$ 与 $\cup$。
• 运用孤立类型的观念，表征最小生成集及其在格构造中的作用。
• 建立最小生成集的幂集代数与格中可定义子集布尔代数之间的同构关系。
• 基于孤立类型包含关系与 $E$-等价下的封闭性，采用证明技术验证格中分配恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$E$-闭理论族的格是分配格？
• RQ2 最小生成集如何影响理论族格的结构？
• RQ3 $E$-可表示性在表征理论 $E$-组合中的作用是什么？
• RQ4 $e$-谱与 $E$-组合的 $e$-完备化之间有何关系？
• RQ5 可定义子集的布尔代数与 $E$-闭族的格之间存在何种关系？

主要发现

• 已证明具有最小生成集的 $E$-闭族的格 $\mathrm{LLGS}(X)$ 是分配格，通过验证 $\wedge^\prime$ 与 $\cup$ 运算的分配恒等式得以确立。
• 对于任意具有最小生成集 $\mathcal{T}^\prime$ 的 $E$-闭族 $\mathcal{T}$，布尔代数 $\mathcal{B}(\mathcal{T})$ 同构于幂集代数 $\mathcal{B}(\mathcal{T}^\prime)$，同构关系基于包含关系。
• 理论族 $\mathcal{T}$ 的最小生成集 $\mathcal{T}^\prime$ 恰好由 $\mathcal{T}$ 中的所有孤立类型构成，且该集合决定了整个格的结构。
• $\wedge^\prime$ 运算对应于 $E$-闭族的交集，而 $\cup$ 运算对应于族的并集，二者均在 $E$-闭包下封闭。
• $E$-组合 $\mathcal{A}_E$ 是 $e$-完备的，当且仅当所有与 $\mathcal{A}_E$ 逻辑等价的结构 $\mathcal{A}^\prime \equiv \mathcal{A}_E$ 均为 $E$-可表示的，这恰好发生在 $e$-谱饱和时。
• $\mathcal{A}_E$ 的 $e$-谱是所有在非等价于任何 $\mathcal{A}_i$ 的 $E$-类上限制的、两两逻辑不等价的理论的集合，其上确界为有限或可数，取决于理论的性质。