[论文解读] On sets of zero stationary harmonic measure

Eviatar B. Procaccia, Yuan Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 5

一句话总结

该论文确定了上半平面格点中无限子集具有非零平稳调和测度的条件，这是扩散限制聚集（DLA）模型中的关键量。论文证明，具有次线性水平增长的子集具有正的平稳调和测度，而具有超线性增长的子集在所有位置的测度均为零——这意味着基于此类测度的聚集过程若增长过快将停止。

ABSTRACT

In this paper, we prove that any subset with an appropriate sub-linear horizontal growth has a non-zero stationary harmonic measure. On the other hand, we also show any subset with super-linear horizontal growth will have a $0$ stationary harmonic measure at every point. This result is fundamental to any future study of stationary DLA. As an application we prove that any possible aggregation process with growth rates proportional to the stationary harmonic measure has non zero measure at all times.

研究动机与目标

• 确定上半平面格点中无限子集具有非零平稳调和测度的条件。
• 理解平稳调和测度对无限聚集过程的影响，特别是在平稳DLA模型的背景下。
• 解决某些无限构型是否能在吸收边界条件下支持扩散限制聚集中持续增长的问题。
• 基于调和测度建立聚集过程从生长到冻结的精确阈值。
• 通过识别可居住的初始构型，为构建无限平稳DLA模型提供基础。

提出的方法

• 将平稳调和测度定义为：从高横线出发的随机游走命中某一点的期望次数的极限，其在命中集合或x轴时被吸收。
• 使用耦合及耦合估计来限制从无穷远处出发的随机游走命中某点前未触及吸收边界概率。
• 构造一系列嵌套集合，并利用强马氏性质关联不同尺度下的命中概率。
• 应用逃逸概率和中间层期望访问次数的估计，推导出调和测度的下界。
• 利用平移不变性及后代分布的矩界来控制聚集随时间的增长。
• 利用Borel-Cantelli论证表明，以高概率，聚集在空间中缓慢增长，从而确保调和测度不消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在上半平面的无限子集上，何种几何条件会导致平稳调和测度消失？
• RQ2 基于平稳调和测度作为生长速率的聚集过程能否无限持续，还是可能冻结？
• RQ3 在水平扩展方面，何种临界增长率可将非零与零平稳调和测度区分开来？
• RQ4 集合中高点的存在如何通过阴影效应影响低点的调和测度？
• RQ5 如果初始构型在所有位置的调和测度均为零，无限平稳DLA模型是否仍可良好定义？

主要发现

• 任何具有次线性水平增长（即高度随x坐标增长慢于线性）的无限子集，在某些点处具有非零平稳调和测度。
• 任何具有超线性水平增长（例如高度增长快于线性）的子集，在所有点处的测度均为零。
• 对于任意具有次线性增长的构型，存在某点具有正的平稳调和测度，从而确保聚集过程持续进行。
• 对于文献[6]中定义的无限相互作用粒子系统，聚集在空间中缓慢增长，满足对所有t和n ≥ 1，有 |B_t ∖ {x : x₂ ≤ |x₁|^{1/n}}| < ∞。
• 推论1确认，对所有t ≥ 0，构型B_t至少包含一个具有正平稳调和测度的点，意味着不会发生冻结。
• 平稳调和测度以C√x₂为上界（C为某常数），这确保了增长率可积，过程保持活跃。