[论文解读] On small values of the Riemann zeta-function on the critical line and gaps between zeros

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Dec 4, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文利用Selberg的值分布理论与渐近分析，研究了临界线上黎曼ζ函数小值的测度。它为满足 $ t ∈ [0,T] $ 且 $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ 的 $ t $ 的测度建立了显式误差项，结果为 $ \frac{T}{2} + O\left(T \frac{(\log\log\log T)^2}{\sqrt{\log\log T}}\right) $，显著改进了先前的概率极限定律。

ABSTRACT

Small values of $|ζ(1/2+it)|$ are investigated, using the value distribution results of A. Selberg. This gives an asymptotic formula for $μ(\{0 < t \le T : |ζ(1/2+it)| \le c\})$. Some related problems involving values of $|ζ(1/2+it)|$ and gaps between the consecutive ordinates of zeros of $ζ(s)$ are also discussed.

研究动机与目标

• 确定实数 $ t \in [0,T] $ 的渐近测度，使得 $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $，其中 $ c > 0 $ 为固定常数。
• 在Laurinčikas的概率极限定律基础上，通过推导小ζ值分布的渐近公式并给出显式误差项，实现进一步改进。
• 分析小ζ值与ζ函数非平凡零点之间间隙的关联，尤其在黎曼猜想成立的假设下。
• 研究在最大值 $ |\zeta(1/2 + it)| $ 被连续零点间距所限制的区间密度，并将其与零点的单重性联系起来。

提出的方法

• 利用Selberg的渐近公式（定理2）及其误差项，该公式对 $ |\zeta(1/2 + it)| $ 的分布描述比以往的概率极限定律更精确。
• 通过恒等式 $ \frac{1}{T}\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2i\tau(2\log\log T)^{-1/2}} dt = e^{-\frac{1}{2}\tau^2} + S_T(\tau) $ 应用复矩方法，尽管误差项 $ S_T(\tau) $ 未被显式界定。
• 通过将 $ y = \frac{\log c}{\sqrt{\frac{1}{2}\log\log T}} $ 代入Selberg公式，结合高斯尾部估计 $ \Phi(y) = \frac{1}{2} + O(|y|) $（当 $ |y| \leq 1 $ 时），推导出主要结果。
• 利用已知不等式 $ \sum_{\bar{\gamma}_n \leq T} (\bar{\gamma}_{n+1} - \bar{\gamma}_n)^2 \leq 9 \cdot \frac{2\pi T}{\log(T/2\pi)} $（Fujii），在黎曼猜想下推导出小间隙数量的下界。
• 分析集合 $ \mathcal{A}(T) $，即满足 $ \max_{\gamma_n \leq t \leq \gamma_{n+1}} |\zeta(1/2 + it)| \leq \gamma_{n+1} - \gamma_n $ 的区间，利用主要渐近公式推导其测度的上界。
• 依赖于本质单重性假设与Montgomery的对相关猜想，论证在黎曼猜想下有 $ A(T) = o(N_0(T)) $，从而推出 $ D(T) = o(N_0(T)) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $ c > 0 $，满足 $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ 的 $ t \in [0,T] $ 的渐近测度是多少？
• RQ2 能否将 $ |\zeta(1/2 + it)| $ 的概率极限定律强化为带有显式误差项的渐近公式？
• RQ3 小值 $ |\zeta(1/2 + it)| $ 与 $ \zeta(s) $ 的连续非平凡零点之间的间隙有何关联？
• RQ4 在黎曼猜想成立下，满足 $ \max |\zeta(1/2 + it)| \leq \gamma_{n+1} - \gamma_n $ 的区间的密度如何？
• RQ5 高斯酉系综假设是否意味着 $ A(T) = o(N_0(T)) $？

主要发现

• 满足 $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ 的 $ t \in [0,T] $ 的测度渐近为 $ \frac{T}{2} + O\left(T \frac{(\log\log\log T)^2}{\sqrt{\log\log T}}\right) $，优于先前的极限定律。
• 对于任意固定的 $ 0 < c_1 < c_2 $，满足 $ c_1 \leq |\zeta(1/2 + it)| \leq c_2 $ 的 $ t \in [0,T] $ 的测度为 $ o(T) $，表明此类值在测度上是稀少的。
• 在黎曼猜想下，满足 $ \max_{t \in [\gamma_n, \gamma_{n+1}]} |\zeta(1/2 + it)| \leq \gamma_{n+1} - \gamma_n $ 的区间数量至少为 $ (1/9 + o(1))N_0(T) $，表明存在大量此类区间。
• $ \mathcal{A}(T) $ 集合的测度为 $ \ll T \frac{=\log\log\log T}{\sqrt{\log\log T}} $，意味着最大ζ值被间隙大小限制的区间的总长度很小。
• 在本质单重性假设与高斯酉系综假设下，有 $ A(T) = o(N_0(T)) $，意味着此类区间在数量上也是稀少的，而不仅是在测度上。
• 猜想 $ B(T) \sim N_0(T) $（即小间隙数量渐近等于零点总数）得到了所推导下界的支持，并在强假设下成立。