[论文解读] On some curvature restricted geometric structures for projective curvature tensor

Absos Ali Shaikh, Haradhan Kundu|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文研究了在黎曼流形和半黎曼流形上由射影曲率张量 $ P $ 定义的曲率受限几何结构。它建立了 Walker 型恒等式的必要与充分条件，刻画了 Venzi $ P $-空间（表明它们要么是常曲率流形，要么满足 $ W\cdot W = Q(S - \frac{\kappa}{n}g, W) $），并证明了对 (0,4)-张量应用射影算子所形成的几何结构与对应 (1,3)-张量所形成的结构在本质上不同，其等价性需满足特定条件。主要贡献在于对由 $ P $ 诱导的半对称与伪对称型结构进行了全面分类，表明在黎曼情形下，若干此类条件蕴含爱因斯坦或常曲率性质。

ABSTRACT

The projective curvature tensor $P$ is invariant under a geodesic preserving transformation on a semi-Riemannian manifold. It is well known that $P$ is not a generalized curvature tensor and hence it possesses different geometric properties than other generalized curvature tensors. The main object of the present paper is to study some semisymmetric type and pseudosymmetric type curvature restricted geometric structures due to projective curvature tensor. The reduced pseudosymmetric type structures for various Walker type conditions are deduced and the existence of Venzi space is ensured. It is shown that the geometric structures formed by imposing projective operator on a (0,4)-tensor is different from that for the corresponding (1,3)-tensor. Characterization of various semisymmetric type and pseudosymmetric type curvature restricted geometric structures due to projective curvature tensor is obtained on a Riemannian and a semi-Riemannian manifold, and it is shown that some of them reduce to Einstein manifold for the Riemann case. Finally to support our theorems four suitable examples are presented.

研究动机与目标

• 研究半黎曼流形上由射影曲率张量 $ P $ 诱导的半对称与伪对称型曲率受限几何结构。
• 推导涉及 $ P $ 的各种 Walker 型恒等式的必要与充分条件，推广对称性条件。
• 刻画 Venzi $ P $-空间并确定其曲率性质，包括与 $ W\cdot W $ 和常曲率的关系。
• 阐明对 (0,4)-张量与对应 (1,3)-张量应用射影算子 $ \mathscr{P}(X,Y) $ 所形成的几何结构之间的区别。
• 对 $ P\cdot R $、$ P\cdot S $、$ P\cdot \mathcal{S ext{ }}$、$ P\cdot P $ 和 $ P\cdot \mathcal{P} $ 等多个曲率条件进行分类与刻画，并确定其对爱因斯坦流形与常曲率流形的含义。

提出的方法

• 通过分析各类张量 $ T $（如 $ R $、$ S $、$ \mathcal{S} $ 和 $ P $）的换位子 $ \mathscr{P}(X,Y)\cdot T $，推导射影曲率张量 $ P $ 的 Walker 型恒等式。
• 对 (0,4)-张量及其 (1,3)-对应张量应用射影曲率算子 $ \mathscr{P}(X,Y) $，比较所得几何结构，并推导其等价性的充分条件。
• 利用张量恒等式与曲率分解分析 $ P\cdot R = 0 $、$ P\cdot R = LQ(g,R) $、$ P\cdot S = 0 $、$ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ 等条件，识别其对流形几何的含义。
• 通过具有特定度量的半黎曼流形显式例子验证理论结果，包括检查 $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $、$ R\cdot R = \frac{1}{a}Q(g,R) $ 和 $ P\cdot P = 0 $。
• 分析数量曲率与 Ricci 张量在决定 $ P $-诱导结构是否蕴含爱因斯坦或常曲率性质中的作用，尤其在黎曼情形下。
• 证明 $ \mathscr{P}(X,Y) $ 与收缩运算可交换当且仅当流形为爱因斯坦流形，从而将射影算子的行为与整体曲率性质联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 半黎曼流形满足涉及射影曲率张量 $ P $ 的 Walker 型恒等式的必要与充分条件是什么？
• RQ2 对 (0,4)-张量与对应 (1,3)-张量应用 $ \mathscr{P}(X,Y) $ 所形成的几何结构有何不同？在何种条件下二者等价？
• RQ3 Venzi $ P $-空间的曲率性质是什么？它们与常曲率或 $ W\cdot W = Q(S - \frac{\kappa}{n}g, W) $ 有何关系？
• RQ4 在何种条件下 $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ 或 $ P\cdot \mathcal{S} = LQ(g,\mathcal{S}) $ 蕴含流形为爱因斯坦流形？
• RQ5 在黎曼与半黎曼情形下，曲率条件 $ P\cdot R = 0 $、$ P\cdot R = LQ(g,R) $ 与 $ P\cdot P = 0 $ 如何与伪对称性及爱因斯坦性质相关联？

主要发现

• Venzi $ P $-空间在黎曼情形下为常曲率流形，或在半黎曼情形下满足 $ W\cdot W = Q(S - \frac{\kappa}{n}g, W) $。
• 对 (0,4)-张量与对应 (1,3)-张量应用 $ \mathscr{P}(X,Y) $ 所形成的几何结构在本质上不同，其等价性需满足涉及 Ricci 张量的特定条件。
• 在构造的例子 $ M_3 $ 中，$ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ 成立，而 $ P\cdot S \neq 0 $，表明 $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ 不蕴含 $ P\cdot S = 0 $。
• 在黎曼情形下，满足 $ P\cdot R = 0 $、$ P\cdot S = 0 $、$ P\cdot \mathcal{S} = 0 $、$ P\cdot P = 0 $ 或 $ P\cdot \mathcal{P} = 0 $ 中任意一个条件，均蕴含流形为爱因斯坦流形。
• 例子 $ M_4 $ 满足 $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $、$ P\cdot R = 0 $ 与 $ P\cdot S = 0 $，且其数量曲率非常数，因此证实 $ P\cdot \mathcal{S} = 0 $ 与 $ P\cdot S = 0 $ 共同蕴含爱因斯坦结构。
• 在 $ M_3 $ 中，条件 $ R\cdot R = \frac{1}{a}Q(g,R) $ 成立，表明其为常型伪对称流形，因而也是共形、射影、共脐与共调和伪对称的常型流形。