[论文解读] On some free boundary problem of the Navier-Stokes equations in the maximal $L_p$-$L_q$ regularity class

Yoshihiro Shibata|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文在一致的 $W^{2-1/q}_q$ 域和弱狄利克雷-诺伊曼问题可解性的假设下，针对 $2 < p < \infty$ 和 $N < q < \infty$ 的情形，建立了不可压缩纳维-斯托克斯方程自由边界问题在最大 $L_p$-$L_q$ 正则性类中的全局与局部时间唯一解存在性定理。关键贡献在于提出了一种基于线性化问题衰减定理的新延拓论证方法，该方法与索洛尼科夫的前期工作不同。

ABSTRACT

This paper is concerned with the free boundary problem for the Navier Stokes equations without surface tension in the $L_p$ in time and $L_q$ in space setting with $2 &lt; p &lt; \infty$ and $N &lt; q &lt; \infty$. A local in time existence theorem is proved in a uniform $W^{2-1/q}_q$ domain in the $N$-dimensional Euclidean space ${\Bbb R}^N$ ($N \geq 2$) under the assumption that weak Dirichlet-Neumann problem is uniquely solvable. Moreover, a global in time existence theorem is proved for small initial data under the assumption that $Ω$ is bounded additionally. This was already proved by Solonnikov \cite{Sol1} by using the continuation argument of local in time solutions which are exponentially stable in the energy level under the assumption that the initial data is orthogonal to the rigid motion. We also use the continuation argument and the same orthogonality for the initial data. But, our argument about the continuation of local in time solutions is based on some decay theorem for the linearized problem, which is a different point than \cite{Sol1}.

研究动机与目标

• 在时间 $L_p$ 与空间 $L_q$ 的设定下，针对 $2 < p < \infty$ 和 $N < q < \infty$，建立纳维-斯托克斯方程自由边界问题的局部时间唯一解存在性定理。
• 在有界域中，针对小初值证明全局时间唯一解存在性定理。
• 提出一种基于线性化问题衰减估计的新延拓论证方法，用于局部解的延拓，该方法与索洛尼科夫基于能量稳定性的方法不同。
• 将最大 $L_p$-$L_q$ 正则性理论推广至一般 $W^{2-1/q}_q$ 域中的无表面张力自由边界问题。

提出的方法

• 在一致的 $W^{2-1/q}_q$ 域中，利用线性化问题的最大 $L_p$-$L_q$ 正则性框架。
• 采用基于线性化系统衰减定理而非能量级稳定性的局部解延拓论证。
• 应用博尔丹的傅里叶乘子定理与拉普拉斯变换，分析相关算子族的预解估计。
• 使用在 $L_q$ 空间与索伯列夫空间中具有有界算子范数的延拓映射 $E$，将函数从区域延拓至整个空间。
• 在自由边界 $S_t$ 上施加运动学条件 $\partial_t F + (\mathbf{v} \cdot \nabla)F = 0$，以确保位于 $S_t$ 上的质点始终保持在边界上。
• 依赖于域中弱狄利克雷-诺伊曼问题唯一可解性作为关键结构性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在最大 $L_p$-$L_q$ 正则性类中，针对 $2 < p < \infty$ 和 $N < q < \infty$，建立自由边界纳维-斯托克斯问题的局部时间唯一解？
• RQ2 在何种条件下，小初值的局部解可全局延拓至整个时间区间？
• RQ3 线性化问题的衰减行为如何支持局部解在初始存在时间之后的延拓？
• RQ4 在确保解正则性方面，$W^{2-1/q}_q$ 域正则性与弱狄利克雷-诺伊曼问题可解性分别起什么作用？
• RQ5 所提出的延拓论证与索洛尼科夫基于能量的稳定性方法有何不同？

主要发现

• 在弱狄利克雷-诺伊曼问题唯一可解的假设下，建立了自由边界纳维-斯托克斯问题在最大 $L_p$-$L_q$ 正则性类中针对 $2 < p < \infty$ 和 $N < q < \infty$ 的局部时间唯一解存在性定理。
• 在有界域中，针对小初值证明了全局时间唯一解存在性定理，扩展了索洛尼科夫的先前结果。
• 全局存在性的延拓论证基于线性化问题的衰减定理，提出了一种与以往工作中采用的能量级稳定性方法不同的新颖方法。
• 证明依赖于一个精心构造的延拓算子 $E$，该算子保持 $L_q$ 与索伯列夫范数，从而使得在整个空间上应用傅里叶乘子理论成为可能。
• 线性化问题的衰减估计在控制非线性项并确保全局解迭代格式收敛方面起到了关键作用。
• 该框架适用于一般 $W^{2-1/q}_q$ 域，包括有界域与扰动层状域，在给定的正则性与可解性假设下均成立。