[论文解读] On some remarkable operads constructed from Baxter operators

Philippe Leroux|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用 22

一句话总结

本文引入了由作用于结合代数上的Baxter算子导出的新奇操作代数，揭示了非共结合双代数、纠缠余乘积与Dendriform、Quadri及Octo代数等代数结构之间的深刻联系。主要贡献在于通过交换的右Baxter算子系统性地构造结合代数与操作代数，进而在自同态空间上生成新的双代数、三重代数及Leibniz/Poisson双代数，并应用于符号动力系统与加权有向图。

ABSTRACT

Language theory, symbolic dynamics, modelisation of viral insertion into the genetic code of a host cell motivate the introduction of new types of bialgebras whose coalgebra parts are not necessarily coassociative. One of the aim of this article is to study what type of (associative) algebras (and thus binary quadratic and non-symmetric operads) appear when such or such coalgebraic structures are used to decribe for instance combinatorial objects such as weighted directed graphs, trees, substitutions and so forth.

研究动机与目标

• 研究配备多个纠缠余乘积但无需共结合性的结合代数所引发的代数结构。
• 建立Baxter算子（特别是右与左变体）与新型非对称二元二次操作代数之间的框架连接。
• 展示这些结构如何从加权有向图与符号动力学模型等组合对象中自然涌现。
• 构建新的代数系统如$\epsilon[R]$-双代数与$\epsilon[R]$-三重代数，并证明其自同态代数继承Leibniz或Poisson双代数结构。
• 探索卷积积与移位算子$\gamma$、$\beta$在自同态空间中生成结合代数与操作代数的作用。

提出的方法

• 本文使用满足$\zeta(x)\zeta(y) = \zeta(\zeta(x)y + x\zeta(y))$及其变体的右与左Baxter算子$\zeta$作用于结合代数，以生成新的代数运算。
• 引入$\epsilon'[R]$-双代数，其中余乘积$\Delta$无需满足共结合性，从而允许更灵活的余代数结构。
• 通过右Baxter算子作用于自由结合代数，实现$n$-超立方体$\epsilon[R]$-双代数与循环代数的构造。
• 自同态代数$\text{End}(A)$通过余乘积$\Delta_\vdash$、$\Delta_\dashv$等赋予卷积积$\overrightarrow{*}_\gamma$，从而导出结合双代数。
• 使用反称换位子$[T,S] := T \overrightarrow{*}_\gamma S - S \overrightarrow{*}_\gamma T$在$\text{End}(A)$上定义Leibniz代数结构，三重代数情形下则产生Poisson双代数结构。
• 利用有向图的共结合覆盖构造$\epsilon[R]$-三重代数，通过扩展余乘积$\Delta_{i,\sharp}$在自由结合代数$As(V)$上实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 交换的右与左Baxter算子如何从非共结合双代数生成新的结合代数与操作代数？
• RQ2 当一个结合代数上存在两个满足纠缠条件且与乘积相容的余乘积时，会涌现出何种代数结构？
• RQ3 能否通过卷积积使$\epsilon[R]$-双代数或双代数的自同态代数继承Leibniz或Poisson双代数结构？
• RQ4 如何利用非共结合余乘积与Baxter算子对加权有向图与符号动力学模型进行代数描述？
• RQ5 移位算子$\gamma$、$\beta$及其复合在从自同态代数生成非对称操作代数中起何种作用？

主要发现

• 在$\epsilon[R]$-双代数$(A, \mu, \Delta_\vdash, \Delta_\dashv)$中，其自同态代数$\text{End}(A)$通过卷积积$\overrightarrow{*}_{\gamma_{\vdash}}$与$\overrightarrow{*}_{\gamma_{\dashv}}$继承结合双代数结构。
• 反称换位子$[T,S] = T \overrightarrow{*}_{\gamma_{\vdash}} S - S \overrightarrow{*}_{\gamma_{\dashv}} T$使$\text{End}(A)$具备Leibniz代数结构。
• 对于$\epsilon[R]$-三重代数，三重卷积结构在$\text{End}(A)$上诱导出Poisson双代数结构，其中包含反称换位子与第三个卷积积。
• 通过从$kV$上的共三重代数出发，利用扩展余乘积$\Delta_{i,\sharp}$在$As(V)$上构造$\epsilon[R]$-三重代数，提供了一套系统化生成此类代数的方法。
• 本文证明了$n$-循环代数与$n$-超立方体$\epsilon[R]$-双代数可通过右Baxter算子构造，推广了先前结果。
• 该框架表明，所生成操作代数的自由对象与Koszul性仍是开放问题。