[论文解读] On special values of spinor L-functions of Siegel cusp eigenforms of genus 3

Francesco L. Chiera, Kirill Vankov|ArXiv.org|May 14, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文计算了在3度与权12的唯一Siegel尖形式 $ F_{12} $ 上的旋量L函数 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) $ 的特殊值，表明其与Petersson内积 $ \langle \Delta, \Delta \rangle $ 和 $ \langle g_{20}, g_{20} \rangle $ 的乘积成正比，比例因子为有理数与 $ \pi $ 的幂次。该结果通过Dokchitser的ComputeL软件包与SAGE进行数值验证，是首次对3度旋量L函数的特殊值进行显式计算。

ABSTRACT

We compute the special values for the spinor L-function L(s,F12) in the critical strip s={12,...,19}, where F12 is the unique (up to a scalar) Siegel cusp form of degree 3 and weight 12, which was constructed by Miyawaki. These values are proportional to the product of Petersson inner products of Ramanujan's Delta by itself and the cusp form of weight 20 for SL(2,Z) by itself by a rational number and some power of Pi. We also verify this result numerically using Dokchitser's ComputeL PARI package. To our knowledge this is the first example of a spinor L-function of Siegel cusp forms of degree 3, when the special values can be computed explicitly.

研究动机与目标

• 计算3度与权12的唯一Siegel尖形式 $ F_{12} $ 的旋量L函数 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) $ 的临界特殊值。
• 将这些值表示为Petersson内积 $ \langle \Delta, \Delta \rangle $ 与 $ \langle g_{20}, g_{20} \rangle $、有理数以及 $ \pi $ 的幂次的乘积。
• 利用Dokchitser的ComputeL PARI软件包与SAGE软件，对理论计算进行数值验证。
• 建立3度Siegel尖形式旋量L函数特殊值计算的首例范例。

提出的方法

• 基于Heim对Miyawaki猜想的证明，利用恒等式 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) = L(s-9, \Delta) L(s-10, \Delta) L(s, \Delta \otimes g_{20}) $ 推导 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) $ 的函数方程。
• 从 $ \Delta $ 与 $ g_{20} $ 的Hodge结构中确定函数方程的 $ \Gamma $-因子与权，得到 $ \Gamma_{\mathbb{C}}(s) \Gamma_{\mathbb{C}}(s-11) $ 与权31。
• 使用Gauss倍元公式将 $ \Gamma $-因子表示为 $ \Gamma_{\mathbb{R}}(s) \Gamma_{\mathbb{R}}(s+1) \Gamma_{\mathbb{R}}(s-11) \Gamma_{\mathbb{R}}(s-10) $。
• 使用SAGE计算 $ L(s, \Delta \otimes g_{20}) $ 的傅里叶系数，至 $ n=15 $，数值见表5。
• 使用ComputeL软件包，以150个系数计算 $ s = 12, \dotsc, 19 $ 时 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) $ 的数值，精度达 $ 10^{-27} $。
• 比较理论值与数值结果，显示相对误差在 $ 10^{-10} $ 至 $ 10^{-16} $ 之间，证实公式正确。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界带 $ s = 12, \dotsc, 19 $ 内，旋量L函数 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) $ 的显式特殊值是什么？
• RQ2 如何将 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) $ 的特殊值用已知算术不变量（如Petersson内积与 $ \pi $ 的幂次）表示？
• RQ3 能否利用ComputeL与SAGE等计算工具，以高精度对 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) $ 的理论公式进行数值验证？
• RQ4 这是首次显式计算3度旋量L函数特殊值的案例吗？

主要发现

• 在 $ s = 12, \dotsc, 19 $ 时，特殊值 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) $ 被显式计算，其与 $ R_s \pi^{\alpha_s} \langle \Delta, \Delta \rangle \langle g_{20}, g_{20} \rangle $ 成正比，其中 $ R_s $ 为有理数，$ \alpha_s $ 为 $ \pi $ 的整数次幂。
• 函数方程的参数由 $ \Delta $ 与 $ g_{20} $ 的Hodge结构导出，得到 $ \Gamma $-因子 $ \Gamma_{\mathbb{C}}(s) \Gamma_{\mathbb{C}}(s-11) $ 与权31。
• 使用ComputeL与SAGE进行的数值计算显示，理论值与数值结果的相对误差在 $ 1.98 \times 10^{-10} $ 至 $ 7.32 \times 10^{-10} $ 之间，证明了高精度。
• $ L(s, \Delta \otimes g_{20}) $ 的傅里叶系数已计算至 $ n = 15 $，例如 $ A(1) = 1 $，$ A(2) = -10944 $，$ A(10) = 125668751443200 $，用于数值评估。
• 结果证实 $ L(s, F_{12}, \text{spin}) = L(s-9, \Delta) L(s-10, \Delta) L(s, \Delta \otimes g_{20}) $ 在理论与数值上均成立，验证了Heim的定理。
• 本工作首次实现了3度旋量L函数特殊值的显式计算，为未来研究设立了基准。