[论文解读] On spreading sequences and asymptotic structures

Daniel Freeman, Edward Odell+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究具有渐近结构类似于 $c_0$ 的平移基的巴拿赫空间。证明了每个具有平移基的巴拿赫空间都包含一个具有无条件基的补子空间——从而回答了 H. 罗森塔尔的一个问题——同时通过新颖的无条件性和平均投影技术，建立了此类空间嵌入 $c_0$ 或为渐近-$c_0$ 的条件。

ABSTRACT

In the first part of the paper we study the structure of Banach spaces with a conditional spreading basis. The geometry of such spaces exhibit a striking resemblance to the geometry of James' space. Further, we show that the averaging projections onto subspaces spanned by constant coefficient blocks with no gaps between supports are bounded. As a consequence, every Banach space with a spreading basis contains a complemented subspace with an unconditional basis. This gives an affirmative answer to a question of H. Rosenthal. The second part contains two results on Banach spaces $X$ whose asymptotic structures are closely related to $c_0$ and do not contain a copy of $\ell_1$: i) Suppose $X$ has a normalized weakly null basis $(x_i)$ and every spreading model $(e_i)$ of a normalized weakly null block basis satisfies $\|e_1-e_2\|=1$. Then some subsequence of $(x_i)$ is equivalent to the unit vector basis of $c_0$. This generalizes a similar theorem of Odell and Schlumprecht, and yields a new proof of the Elton-Odell theorem on the existence of infinite $(1+\varepsilon)$-separated sequences in the unit sphere of an arbitrary infinite dimensional Banach space. ii) Suppose that all asymptotic models of $X$ generated by weakly null arrays are equivalent to the unit vector basis of $c_0$. Then $X^*$ is separable and $X$ is asymptotic-$c_0$ with respect to a shrinking basis $(y_i)$ of $Y\supseteq X$.

研究动机与目标

• 理解具有条件平移基的巴拿赫空间的几何结构，特别是其与詹姆斯空间的相似性。
• 解决 H. 罗森塔尔关于具有平移基的空间中是否存在补的无条件子空间的开放问题。
• 刻画巴拿赫空间包含 $c_0$ 或为渐近-$c_0$ 的条件，尤其当渐近模型与 $c_0$ 基等价时。
• 建立在条件平移情况下，常系数块子空间上平均投影的有界性。
• 提供埃尔顿-奥戴勒定理的新证明，该定理指出任何无穷维巴拿赫空间的单位球上均存在无限个 $(1+\varepsilon)$-分离序列。

提出的方法

• 从一个归一化的条件平移基 $(e_i)$ 出发，引入差分基 $(d_i) = (e_1, e_2 - e_1, e_3 - e_2, \dots)$，并证明其构成一种跳越无条件基。
• 利用定理 2.3a 证明差分基中块序列的无条件性，这是分析的核心。
• 将有界平均投影应用于由无间隙常系数块张成的子空间，证明其一致有界性。
• 运用组合间隙引理稳定树节点上的泛函，从而实现对受控扰动的渐近模型构造。
• 利用稳定泛函和扰动控制构建精炼的向量阵列，以确保渐近模型与 $c_0$ 等价。
• 利用所有归一化渐近模型与 $c_0$ 基等价，且不存在 $\varepsilon$-分离序列的条件，推导出 $X^*$ 的可分性及 $X$ 相对于更大空间 $Y \supseteq X$ 中的缩减基的渐近-$c_0$ 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有平移基的巴拿赫空间是否都包含一个具有无条件基的补子空间？
• RQ2 在具有弱零归一化基的巴拿赫空间中，满足何种条件时，其子空间与 $c_0$ 等价？
• RQ3 如果所有弱零数组的渐近模型均与 $c_0$ 基等价，该空间是否相对于一个缩减基成为渐近-$c_0$？
• RQ4 能否从渐近模型的性质重新推导埃尔顿-奥戴勒定理中关于 $(1+\varepsilon)$-分离序列的存在性？
• RQ5 差分基在刻画条件平移基空间几何结构中起什么作用？

主要发现

• 每个具有平移基的巴拿赫空间都包含一个具有无条件基的补子空间，从而肯定回答了 H. 罗森塔尔的问题。
• 对无间隙常系数块张成子空间的平均投影具有一致有界性，这是关键技术结果。
• 若一个归一化的弱零块基具有满足 $\|e_1 - e_2\| = 1$ 的平移模型，且 $\ell_1 \not\hookrightarrow X$，则 $c_0 \hookrightarrow X$。
• 若所有弱零数组的归一化渐近模型均与 $c_0$ 基等价，且 $\ell_1 \not\hookrightarrow X$，则 $X^*$ 可分，且 $X$ 相对于某更大空间 $Y \supseteq X$ 中的缩减基为渐近-$c_0$。
• 埃尔顿-奥戴勒定理的证明被简化：若 $X$ 不包含 $\ell_1$ 或 $c_0$，则弱零序列必存在一个块基，其平移模型满足 $\|e_1 - e_2\| > 1$，从而导出无限个 $(1+\varepsilon)$-分离序列。
• 条件平移基的差分基 $(d_i)$ 是跳越无条件的，且当且仅当 $(e_i)$ 有界完备时，$c_0 \not\hookrightarrow X$。