[论文解读] On strong rainbow connection number

Xueliang Li, Yuefang Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文研究了强彩虹连通数 $src(G)$，证明了 $src(G) \leq m - 2t$，其中 $m$ 为边数，$t$ 为 $G$ 中边不相交三角形的数量，且当且仅当 $G$ 属于特定图族 $\overline{\mathcal{G}}_t$ 时取等号。本文刻画了满足 $src(G) = m-2$ 的图，并将该界应用于三正则图的线图，证明了对于具有 $n$ 个顶点的三正则图，有 $src(L(G)) \leq n$。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph, where adjacent edges may be colored the same, is a rainbow path if no two edges of it are colored the same. For any two vertices $u$ and $v$ of $G$, a rainbow $u-v$ geodesic in $G$ is a rainbow $u-v$ path of length $d(u,v)$, where $d(u,v)$ is the distance between $u$ and $v$. The graph $G$ is strongly rainbow connected if there exists a rainbow $u-v$ geodesic for any two vertices $u$ and $v$ in $G$. The strong rainbow connection number of $G$, denoted $src(G)$, is the minimum number of colors that are needed in order to make $G$ strong rainbow connected. In this paper, we first investigate the graphs with large strong rainbow connection numbers. Chartrand et al. obtained that $G$ is a tree if and only if $src(G)=m$, we will show that $src(G) eq m-1$, so $G$ is not a tree if and only if $src(G)\leq m-2$, where $m$ is the number of edge of $G$. Furthermore, we characterize the graphs $G$ with $src(G)=m-2$. We next give a sharp upper bound for $src(G)$ according to the number of edge-disjoint triangles in graph $G$, and give a necessary and sufficient condition for the equality.

研究动机与目标

• 刻画强彩虹连通数较大的图，特别是 $src(G) = m-2$ 的图。
• 基于 $G$ 中边不相交三角形的数量，建立 $src(G)$ 的紧致上界。
• 确定上界中等号成立的必要与充分条件。
• 将该上界应用于连通三正则图的线图，推导出 $src(L(G)) \leq n$。

提出的方法

• 提出一种新颖的边染色构造方法，证明若 $G$ 不满足等号条件，则 $src(G) < m - 2t$。
• 定义图族 $\overline{\mathcal{G}}_t$，其中上界等号成立，其依据是三角形与割边的结构约束。
• 应用 $D_2$-树的概念，证明在任意最小强彩虹染色中，此类树中的每条边必须获得不同的颜色。
• 运用结构图论，包括边割和诱导子图，分析三角形与度数为 2 的顶点在 $src(G)$ 中的作用。
• 通过线图的团分解来建模 $L(G)$ 中的边不相交三角形结构，从而应用主定理。
• 使用反证法与边染色论证，证明上界等号成立当且仅当 $G \in \overline{\mathcal{G}}_t$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非树图，$src(G)$ 的最大可能值是多少？哪些图能达到 $src(G) = m-2$？
• RQ2 以 $G$ 中边不相交三角形的数量表示，$src(G)$ 的紧致上界是什么？
• RQ3 在何种结构条件下，对于具有 $t$ 个边不相交三角形的图 $G$，有 $src(G) = m - 2t$？
• RQ4 如何将该上界应用于推导三正则图线图的强彩虹连通数？

主要发现

• 强彩虹连通数满足 $src(G) \leq m - 2t$，其中 $m$ 为边数，$t$ 为 $G$ 中边不相交三角形的数量，且当且仅当 $G \in \overline{\mathcal{G}}_t$ 时取等号。
• 满足 $src(G) = m-2$ 的图被刻画为五边形或三个特定图类的成员（排除树的情况）。
• 不可能有 $src(G) = m-1$；因此，当且仅当 $G$ 不是树时，$src(G) \leq m-2$。
• 对于具有 $n$ 个顶点的连通三正则图 $G$ 的线图 $L(G)$，有 $src(L(G)) \leq n$，该结果由 $3n$ 条边和 $n$ 个边不相交三角形导出。
• 等号条件 $src(G) = m - 2t$ 成立的充要条件是 $G$ 中每个三角形至多包含一个度数为 2 的顶点。
• 证明表明，在任意最小强彩虹染色中，$D_2$-树的所有边必须获得不同的颜色，这有助于说明上界的紧致性。