[论文解读] On subordination of holomorphic semigroups

A. M. Gomilko, Yuri Tomilov|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文证明，对于任意 Bernstein 函数 $\psi$，只要 $-A$ 生成一个拟解耦 $C_0$-半群，那么 $-\psi(A)$ 也生成一个拟解耦 $C_0$-半群，从而解决了 Kishimoto 和 Robinson 长久以来提出的问题。此外，本文进一步证明了子序半群 $e^{-t\psi(A)}$ 的拟解耦区域和拟解耦有界性均继承自原始半群 $e^{-tA}$，推广并改进了 Carasso-Kato 和 Fujita 的经典结果。

ABSTRACT

We prove that for any Bernstein function $ψ$ the operator $-ψ(A)$ generates a holomorphic $C_0$-semigroup $(e^{-tψ(A)})_{t \ge 0}$ on a Banach space, whenever $-A$ does. This answers a question posed by Kishimoto and Robinson. Moreover, giving a positive answer to a question by Berg, Boyadzhiev and de Laubenfels, we show that $(e^{-tψ(A)})_{t \ge 0}$ is holomorphic in the holomorphy sector of $(e^{-tA})_{t \ge 0},$ and if $(e^{-tA})_{t \ge 0}$ is sectorially bounded in this sector then $(e^{-tψ(A)})_{t \ge 0}$ has the same property. We also obtain new sufficient conditions on $ψ$ in order that, for every Banach space $X$, the semigroup $(e^{-tψ(A)})_{t\ge 0}$ on $X$ is holomorphic whenever $(e^{-tA})_{t\ge 0}$ is a bounded $C_0$-semigroup on $X$. These conditions improve and generalize well-known results by Carasso-Kato and Fujita.

研究动机与目标

• 解决关于通过 Bernstein 函数子序是否保持 $C_0$-半群拟解耦性的开放问题。
• 确定子序半群 $e^{-t\psi(A)}$ 的拟解耦区域是否与原始半群 $e^{-tA}$ 相同。
• 建立 $\psi$ 的充分条件，使得当 $e^{-tA}$ 有界时，$e^{-t\psi(A)}$ 为拟解耦。
• 推广并改进 Carasso-Kato 和 Fujita 关于 Bernstein 函数改善性质的经典结果。

提出的方法

• 利用与 Bernstein 函数 $\psi$ 相关的子概率测度族 $(\mu_t)_{t\geq 0}$ 的子序原理，其定义为 $e^{-t\psi(z)} = \int_0^\infty e^{-zs}\mu_t(ds)$。
• 通过积分表示 $e^{-t\psi(A)} = \int_0^\infty e^{-sA}\mu_t(ds)$ 应用泛函演算定义 $\psi(A)$，确保与算子泛函演算的一致性。
• 利用完全 Bernstein 函数和完全单调函数的性质分析拟解耦性和拟解耦角度。
• 通过 Bernstein 函数和完全单调函数的积分表示与复合规则，推导出 $\psi$ 保持拟解耦有界性的条件。
• 应用 Bochner 子序和 Phillips 理论的结果，关联算子 $A$ 与 $\psi(A)$ 的谱性质。
• 利用调和分析与算子理论中的高级工具，包括子概率测度的 Laplace 变换结构和拟解耦算子理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 Bernstein 函数 $\psi$ 子序一个拟解耦 $C_0$-半群，是否保持其拟解耦性？
• RQ2 $e^{-t\psi(A)}$ 的拟解耦区域是否包含于或等于 $e^{-tA}$ 的拟解耦区域？
• RQ3 在何种 $\psi$ 条件下，当 $-A$ 生成拟解耦 $C_0$-半群时，$-\psi(A)$ 也生成拟解耦 $C_0$-半群？
• RQ4 是否可以比 Carasso-Kato 的工作更一般地刻画 Bernstein 函数的改善性质——即将有界 $C_0$-半群转化为拟解耦半群？
• RQ5 $e^{-tA}$ 的拟解耦有界性是否蕴含 $e^{-t\psi(A)}$ 的相同性质？

主要发现

• 对于任意 Bernstein 函数 $\psi$，只要 $-A$ 生成拟解耦 $C_0$-半群，那么 $-\psi(A)$ 也生成拟解耦 $C_0$-半群，从而正面回答了 Kishimoto 和 Robinson 提出的问题。
• $e^{-t\psi(A)}$ 在与 $e^{-tA}$ 相同的区域中拟解耦，且若 $e^{-tA}$ 拟解耦有界，则 $e^{-t\psi(A)}$ 也拟解耦有界。
• 本文为 $\psi$ 提供了新的充分条件，确保当 $e^{-tA}$ 有界时，$e^{-t\psi(A)}$ 拟解耦，推广并改进了 Carasso-Kato 和 Fujita 的判据。
• 证明了若 $\psi$ 是特殊 Bernstein 函数且 $\alpha \in (0,1)$，则 $[\psi(z^\alpha)]^{1/\alpha}$ 也是 Bernstein 函数，扩展了已知结果。
• 本文通过提供正确证明，弥补了 [34] 中先前主张的漏洞，避免了依赖有缺陷的论证来证明拟解耦性保持。
• 子序映射 $\mathcal{M}: -A \mapsto -\psi(A)$ 保持 $C_0$-半群的拟解耦区域与拟解耦有界性。