[论文解读] On sum of powers of Laplacian eigenvalues and Laplacian Estrada index of graphs

Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2011

Graph theory and applications参考文献 26被引用 29

一句话总结

本文通过图的度序列，建立了拉普拉斯特征值幂次和 $ s_\alpha(G) $ 以及拉普拉斯爱斯特拉德指数 $ LEE(G) $ 的紧致界。利用舒尔凸性与主要化理论，证明了对于连通图，$ s_\alpha(G) $ 与 $ LEE(G) $ 在星图 $ S_n $ 处达到极值，针对 $ \alpha > 1 $、$ 0 < \alpha < 1 $ 和 $ \alpha < 0 $ 的不同范围，推导出明确的不等式，并作为副产品，为基尔霍夫指数提供了新的下界。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph and $α$ a real number. The quantity $s_α(G)$ defined as the sum of the $α$-th power of the non-zero Laplacian eigenvalues of $G$ generalizes several concepts in the literature. The Laplacian Estrada index is a newly introduced graph invariant based on Laplacian eigenvalues. We establish bounds for $s_α$ and Laplacian Estrada index related to the degree sequences.

研究动机与目标

• 基于图的度序列，推导 $ s_\alpha(G) $（非零拉普拉斯特征值的 $ \alpha $ 次幂之和）的紧致界。
• 利用度序列，建立拉普拉斯爱斯特拉德指数 $ LEE(G) $ 的新下界与上界。
• 识别在所推导不等式中达到等号的极值图（例如星图）。
• 作为对 $ s_{-1}(G) $ 分析的副产品，为基尔霍夫指数提供新的下界。

提出的方法

• 利用不同 $ \alpha $ 范围下幂函数 $ x^\alpha $ 的舒尔凸性，结合已知的主要化结果。
• 应用拉普拉斯特征值序列与变换后度序列 $ (d_1+1, d_2, \dots, d_{n-1}, d_n-1) \preceq (\mu_1, \dots, \mu_n) $ 之间的主要化关系。
• 利用指数函数的泰勒级数展开，将拉普拉斯谱矩 $ t_k(G) $ 与拉普拉斯爱斯特拉德指数 $ LEE(G) = \sum_{k\geq 0} \frac{t_k(G)}{k!} $ 关联起来。
• 利用 $ s_k(G) = t_k(G) $（当 $ k \geq 1 $ 时），并基于度序列推导 $ t_k(G) $ 的不等式。
• 应用算术-几何平均不等式及其他经典不等式，推导 $ LEE(G) $ 与 $ LEE(G) + LEE(\overline{G}) $ 的界。
• 通过刻画具有相等特征值与度序列的图（如 $ G = S_n $ 或 $ G = K_n $）来确定等号成立的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于连通图，基于其度序列，$ s_\alpha(G) $（非零拉普拉斯特征值的 $ \alpha $ 次幂之和）的最紧致界是什么？
• RQ2 在固定度序列下，哪些图结构使拉普拉斯爱斯特拉德指数 $ LEE(G) $ 最小化或最大化？
• RQ3 能否利用对 $ s_{-1}(G) $ 推导出的不等式，为基尔霍夫指数提供下界？
• RQ4 对于不同范围的 $ \alpha $（特别是 $ \alpha > 1 $、$ 0 < \alpha < 1 $ 和 $ \alpha < 0 $），$ s_\alpha(G) $ 与 $ LEE(G) $ 的界如何表现？
• RQ5 哪些极值图（如星图、完全图或团的不相交并）在所推导的界中达到等号？

主要发现

• 当 $ \alpha > 1 $ 时，$ s_\alpha(G) \geq (d_1+1)^\alpha + \sum_{i=2}^{n-1} d_i^\alpha + (d_n - 1)^\alpha $，等号成立当且仅当 $ G = S_n $。
• 当 $ 0 < \alpha < 1 $ 时，$ s_\alpha(G) \leq (d_1+1)^\alpha + \sum_{i=2}^{n-1} d_i^\alpha + (d_n - 1)^\alpha $，等号成立当且仅当 $ G = S_n $。
• 当 $ \alpha < 0 $ 时，$ s_\alpha(G) \geq (d_1+1)^\alpha + \sum_{i=2}^{n-2} d_i^\alpha + (d_{n-1} + d_n - 1)^\alpha $，等号成立当且仅当 $ G = S_n $ 或 $ G = K_3 $。
• 拉普拉斯爱斯特拉德指数满足 $ LEE(G) \geq e^{d_1+1} + \sum_{i=2}^{n-1} e^{d_i} + e^{d_n - 1} $，等号成立当且仅当 $ G = S_n $。
• 对于 $ k \geq 1 $，有 $ t_k(G) \geq \sum_{i=1}^n d_i (1 + d_i)^{k-1} $，当 $ k \geq 3 $ 时等号成立当且仅当 $ G $ 是若干个完全子图的顶点不相交并。
• 通过 $ s_{-1}(G) $ 推导出基尔霍夫指数的新下界：$ Kf(G) \geq \frac{n}{(d_1+1)^{-1} + \sum_{i=2}^{n-1} d_i^{-1} + (d_n - 1)^{-1}} $。