[论文解读] On sums of Fourier coefficients of cusp forms

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Nov 25, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 38

一句话总结

本文为Maass尖点形式与全纯尖点形式在平方处的傅里叶系数的求和函数建立了精确的上界，表明：$ \sum_{n \leq x} t_j(n^2) \ll \alpha_j^{-1}x \exp\left(-A\log^{3/5}x (\log\log x)^{-1/5}\right)$，全纯形式亦有类似衰减。该结果依赖于素数定理的误差项以及Hecke特征值的乘法性质。

ABSTRACT

The summatory function of $t_j(n^2)$ is estimated, where $H_j(s) = \sum_{n=1}^\infty t_j(n)n^{-s}$ is the Hecke series of a non-holomorphic cusp form. The analogous problem of holomorphic cusp forms is also treated.

研究动机与目标

• 推导$\sum_{n \leq x} f(n^2)$的渐近上界，其中$f(n)$为Maass或全纯尖点形式的第$n$个傅里叶系数。
• 解决由于Hecke特征值的振荡性导致此类求和中无主项的问题。
• 通过Rankin-Selberg方法与Möbius反演，统一并推广先前关于$\sum t_j^2(n)$与$\sum \tilde{a}^2(n)$的研究结果。
• 量化谱参数$\kappa_j$与Ramanujan指数$\alpha$的依赖关系。
• 表明$\zeta(s)$的零点自由区域若能改进，将导致更强的上界，从而将自守形式与黎曼猜想联系起来。

提出的方法

• 利用乘法恒等式$t_j(n^2) = \sum_{d|n} \mu(d) t_j^2(n/d)$将求和表示为$mn \leq x$的双重求和，分为$m \leq \sqrt{x}$与$n \leq \sqrt{x}$两部分。
• 应用已知渐近公式$\sum_{n \leq x} t_j^2(n) = \frac{12x}{\pi^2 \alpha_j} + O(x^\beta)$，对$\kappa_j \leq x^c$一致成立，其中$\beta < 1$，此结果源自Rankin-Selberg理论。
• 利用素数定理误差项估计主和$\sum_1$，得到$\sum_{m \leq \sqrt{x}} \mu(m)/m \ll \exp(-C \log^{3/5}x (\log\log x)^{-1/5})$。
• 利用相同的指数衰减与$t_j^2(n)$的增长性，对次级和$\sum_2$进行有界，证明其为$O(\alpha_j^{-1}x \exp(-C\eta(x)))$。
• 通过Möbius反演与归一化Hecke特征值$\tilde{a}(n) = a(n)n^{-(\kappa-1)/2}$，将结果推广至全纯尖点形式。
• 应用分部求和法，将$\sum \tilde{a}(n^2)$的界转移至$\sum a(n^2)$，从而获得$x^\kappa$-加权的衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于Maass尖点形式的Hecke特征值$t_j(n)$，求$\sum_{n \leq x} t_j(n^2)$的最佳可能上界为何？
• RQ2 谱参数$\kappa_j$如何影响$t_j(n^2)$求和函数的误差项？
• RQ3 是否可利用$t_j(n)$的振荡性来实现无主项的抵消？若可，求和衰减速度如何？
• RQ4 当Ramanujan-Petersson猜想成立（即$\alpha = 0$）时，该上界的有效范围如何改善？
• RQ5 全纯尖点形式的上界与Maass形式相比如何？权重$\kappa$在此中起何作用？

主要发现

• 对于Maass尖点形式，当$\kappa_j \leq x^c$且$0 < c < \min\left(\frac{3+6\alpha}{2+20\alpha}, 1-\alpha\right)$时，不等式$\sum_{n \leq x} t_j(n^2) \ll \alpha_j^{-1}x \exp\left(-A\log^{3/5}x (\log\log x)^{-1/5}\right)$一致成立。
• 当$\alpha \leq \frac{5}{28}$时，该上界对$c < \frac{57}{78}$成立，改善了$\kappa_j$依赖的范围。
• 若Ramanujan-Petersson猜想成立（即$\alpha = 0$），则上界可扩展至$\kappa_j \leq x^c$对任意$0 < c < 1$，表明谱范围达到最优。
• 对于权为$\kappa$的全纯尖点形式，有$\sum_{n \leq x} a(n^2) \ll x^\kappa \exp\left(-C(\log x)^{3/5}(\log\log x)^{-1/5}\right)$，其中$C > 0$，此结果通过$\tilde{a}(n^2)$的分部求和得出。
• 指数衰减因子源于目前已知最精确的素数定理误差项，从而将自守形式与$\zeta(s)$的零点自由区域联系起来。
• 求和中无主项是由于$t_j(n)$的振荡性所致，与具有主项的除数型算术函数（如$d(n^2)$）形成鲜明对比。