[论文解读] On Supports of Sums of Nonnegative Circuit Polynomials

Jie Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Formal Methods in Verification参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文证明了每个SONC（非负电路多项式之和）多项式均可分解为具有相同支撑的非负电路多项式，从而保持稀疏性。这使得通过相对熵规划更高效地认证非负性成为可能，相较于传统的SOS（平方和）分解，具有显著优势，因为SOS分解通常需要额外的单项式，且对稀疏多项式效率较低。

ABSTRACT

In this paper, we prove that every SONC polynomial decomposes into a sum of nonnegative circuit polynomials with the same support, which reveals the advantage of SONC decompositions for certifying nonnegativity of sparse polynomials compared with the classical SOS decompositions. By virtue of this fact, we can decide $f\in$ SONC through relative entropy programming more efficiently.

研究动机与目标

• 建立每个SONC多项式可分解为共享相同支撑的非负电路多项式的理论。
• 阐明SONC分解相较于经典SOS分解在保持稀疏性方面的优势。
• 通过相对熵规划实现更高效的SONC锥成员资格判定。
• 为基于SONC表示的多项式优化中改进算法提供理论基础。

提出的方法

• 本文提出SONC多项式的一种保持支撑的分解定理，证明每个SONC多项式可表示为具有相同支撑集的非负电路多项式之和。
• 利用通过牛顿多面体顶点的凸组合定义的电路数条件，刻画电路多项式的非负性。
• 该方法使用相对熵规划（REP）来测试SONC锥中的成员资格，其约束条件源自电路结构与系数分解。
• 针对支撑中每个非顶点单项式，通过牛顿多面体的单形剖分构造多个电路多项式。
• 将REP系统的可行性等价于SONC成员资格，其中变量用于追踪系数的分割以及对数障碍项。
• 核心REP公式包含对加权系数的约束、对数不等式，以及子分解间总系数的守恒条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个SONC多项式是否可分解为保持原始支撑的非负电路多项式？
• RQ2 SONC分解的支撑结构与SOS分解相比，在稀疏性方面有何差异？
• RQ3 能否通过SONC而非SOS表示更高效地认证稀疏多项式的非负性？
• RQ4 电路数在确定电路多项式非负性方面起什么作用？
• RQ5 是否存在一种相对熵规划公式，可在不引入额外单项式的情况下高效判定SONC锥中的成员资格？

主要发现

• 每个SONC多项式均可分解为具有相同支撑的非负电路多项式，从而保持原始多项式的稀疏性。
• 此支撑保持特性使SONC分解显著优于SOS分解，后者通常需要额外的单项式。
• 特定相对熵规划（REP）系统的可行性等价于SONC锥中的成员资格，从而实现高效的非负性认证。
• REP公式涉及在多个电路分量间分割系数，同时保持总系数守恒，并满足由电路数导出的对数不等式。
• 该方法在分解过程中避免引入新单项式，而SOS方法通常会增加项数与计算成本。
• 所提出的REP公式对SONC成员资格而言既是必要也是充分的，为稀疏非负多项式提供了完整且高效的判定过程。