[论文解读] On Tannaka duality for vector bundles on p-adic curves

Christopher Deninger, Annette Werner|ArXiv.org|Jun 14, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文证明了在 p-进曲线上的零度向量丛（具有潜在强半稳定化简）的范畴是阿贝尔的且为中性 Tannaka 类，从而建立了 Narasimhan–Seshadri 理论的 p-进类比。此外，利用 Weil 关于通过有限 étale 覆盖平凡化的向量丛的刻画，计算了 Tannaka 对偶群的连通分支群。

ABSTRACT

We prove that a category of degree zero vector bundles with "potentially strongly semistable reduction" on a p-adic curve is a neutral Tannakian category. We also make a first study of the corresponding affine group scheme. In particular, we determine its group of connected components using a theorem of Weil.

研究动机与目标

• 解决 [DW2] 中未解决的问题：零度向量丛（具有潜在强半稳定化简）的范畴是否为阿贝尔范畴。
• 证明该范畴为中性 Tannaka 类，从而实现 Tannaka 对偶性。
• 计算该范畴的 Tannaka 对偶群的连通分支群。
• 应用 Weil 对通过有限 étale 覆盖平凡化的向量丛的刻画，分析 Tannaka 对偶群的结构。
• 探讨 Tannaka 对偶群的结构，特别是其阿贝尔化与拟紧致分量，与覆盖的 Picard 群之间的关系。

提出的方法

• 定义 p-进曲线上的零度向量丛（具有潜在强半稳定化简）的范畴 $\mathfrak{B}^{ps}$。
• 利用 Frobenius 拉回与半稳定性性质，证明 $\mathfrak{B}^{ps}$ 是阿贝尔的，从而为中性 Tannaka 类。
• 应用 Tannaka 对偶性，为 $\mathfrak{B}^{ps}$ 关联一个拟代数群 $G$，其中 $G^{0}$ 为其单位分支。
• 利用 Weil 的结果：在有限 étale 覆盖上平凡化的向量丛满足 $\mathbb{Z}$ 上的多项式方程，从而计算 $\pi_0(G)$，即连通分支群。
• 通过有限覆盖 $X'$ 的 $ \mathrm{Pic}^{0}_{X'}({\mathbb{C}}_p)/\mathrm{tors} $ 的直接极限分析 $ (G^{0})^{\mathrm{ab}} $，证明其为拟紧致环。
• 将范畴中某向量丛 $E$ 的 Tannaka 对偶群 $G_E$ 与单射性下的 monodromy 表示 $\rho_{E,x}$ 的 Zariski 闭包联系起来，利用 Tannaka 函子的全忠实性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 p-进曲线上，具有潜在强半稳定化简的零度向量丛范畴 $\mathfrak{B}^{ps}$ 是否为阿贝尔范畴？
• RQ2 Tannaka 对偶群的结构如何，特别是其连通分支群？
• RQ3 Weil 关于通过有限 étale 覆盖平凡化的准则，如何与 $\mathfrak{B}^{ps}$ 的 Tannaka 对偶群相关联？
• RQ4 Tannaka 对偶群与 $\mathfrak{B}^{ps}$ 中某向量丛关联的 monodromy 表示之间有何关系？
• RQ5 Tannaka 对偶群的阿贝尔化与导出子群如何反映底曲面及其 Picard 群的几何结构？

主要发现

• 范畴 $\mathfrak{B}^{ps}$ 是阿贝尔的，因此为中性 Tannaka 类，解决了 [DW2] 中的开放问题。
• 范畴 $\mathfrak{B}^{ps}$ 的 Tannaka 对偶群 $G^{ps}_{\mathrm{red}}$ 的连通分支群 $\pi_0(G^{ps}_{\mathrm{red}})$ 同构于 $\varinjlim_{X'} \mathrm{Pic}^{0}_{X'}({\mathbb{C}}_p)/\mathrm{tors}$，通过 Weil 的多项式方程准则计算得出。
• 中性分支 $G^{0}$ 的最大阿贝尔商 $ (G^{0})^{\mathrm{ab}} $ 是一个具有特征群 $ \varinjlim_{X'} \mathrm{Pic}^{0}_{X'}({\mathbb{C}}_p)/\mathrm{tors} $ 的拟紧致环，该群为无 torsion 且可除。
• 对于 $E \in \mathfrak{B}^{ps}_{\mathrm{red}}$，Tannaka 对偶群 $G_E$ 包含 monodromy 表示 $\rho_{E,x}$ 的 Zariski 闭包，且当 $\rho_{E,x}$ 半单时两者相等。
• $G^{0}$ 可分解为 $C \cdot (G^{0}, G^{0})$，其中 $C$ 为拟紧致环，$(G^{0}, G^{0})$ 为拟半单，且存在非典范同构 $X(C) \cong X((G^{0})^{\mathrm{ab}}) \oplus X(H)$。
• 当 $X$ 为椭圆曲线时，$(G,G^{0}) = (G^{0},G^{0})$，但当 $g(X) \geq 2$ 时，$(G,G^{0})/(G^{0},G^{0})$ 包含非平凡的拟紧致环，反映出 Picard 群的无穷维性质。