[论文解读] On Tensorial Concomitants and the Non-Existence of a Gravitational Stress-Energy Tensor

Erik Curiel|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文严格证明了在自然物理与几何条件下，广义相对论中不可能存在局部引力应力-能量张量。通过微分几何与喷从丛理论，本文表明任何候选张量都必须是度量的齐次伴随张量，但此类张量（如爱因斯坦张量）即使在时空曲率非零时也可能为零，因此不适合作为局域引力能量的表示。

ABSTRACT

The question of the existence of gravitational stress-energy in general relativity has exercised investigators in the field since the inception of the theory. Folklore has it that no adequate definition of a localized gravitational stress-energetic quantity can be given. Most arguments to that effect invoke one version or another of the Principle of Equivalence. I argue that not only are such arguments of necessity vague and hand-waving but, worse, are beside the point and do not address the heart of the issue. Based on a novel analysis of what it may mean for one tensor to depend in the proper way on another, I prove that, under certain natural conditions, there can be no tensor whose interpretation could be that it represents gravitational stress-energy in general relativity. It follows that gravitational energy, such as it is in general relativity, is necessarily non-local. Along the way, I prove a result of some interest in own right about the structure of the associated jet bundles of the bundle of Lorentz metrics over spacetime.

研究动机与目标

• 解决广义相对论中是否存在局域引力应力-能量张量的长期悬而未决问题。
• 超越基于等效原理的模糊启发式论证，为引力能量的非局域性提供严格的几何基础。
• 确立引力应力-能量张量可能存在的精确数学条件，并证明没有任何候选张量满足这些条件。
• 阐明曲率与张量伴随物在广义相对论中能量-动量表示背景下的作用。
• 证明引力能量若存在，必须本质上是非局域的，依据几何丛与张量不变量的结构。

提出的方法

• 分析时空上洛伦兹度量丛及其一阶与二阶喷从丛的几何结构。
• 应用张量伴随物理论——依赖于度量及其导数的函数性与协变性张量——使用微分几何方法。
• 利用洛韦洛克定理与齐次伴随物的分类，识别所有可能的二阶、对称、散度为零、权重为零的度量伴随物。
• 施加物理约束：当黎曼曲率张量非零时非零，且当物质应力-能量为零时散度为零。
• 利用唯一满足条件的伴随物为爱因斯坦张量的常数倍这一事实，而该张量即使在具有非平凡外尔曲率的时空下也可能为零。
• 应用原则：有效的引力应力-能量张量在具有非平凡曲率的时空（如纯引力辐射时空）中不应为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从度量构造一个局域的、对称的、二阶的、散度为零的张量，以表示广义相对论中的引力应力-能量？
• RQ2 为何基于等效原理的传统论证无法为引力能量的非局域性提供严格的数学依据？
• RQ3 哪些数学约束限制了可表示引力能量的度量张量伴随物？
• RQ4 是否存在某种张量对象，既能满足在弯曲时空下非零能量的物理要求，又能在物质应力-能量为零时满足守恒律？
• RQ5 度量丛的喷从丛结构如何限制引力能量张量的存在？

主要发现

• 不存在任何二阶、对称、齐次、共变的度量伴随物，其在黎曼张量非零时非零，且在物质应力-能量为零时协变散度为零。
• 唯一满足条件的伴随物是爱因斯坦张量的常数倍，而该张量即使在具有非平凡外尔曲率的时空中也可能为零。
• 因此，爱因斯坦张量不适合作为引力应力-能量的表示，因为它无法检测真空时空中的纯引力辐射。
• 广义相对论中的引力能量本质上必须是非局域的，因为没有任何局域张量表示能满足必要的物理与几何条件。
• 该分析确认，所有已知的引力能量表达式均为非张量性且为积分形式，与广义相对论中长期流传的 folklore 一致。
• 本文建立了严格的几何结果：唯一可能的候选者是黎曼曲率张量的伴随物，而在这些之中，没有任何一个满足所需的物理约束。