[论文解读] On the 4-color theorem for signed graphs

František Kardoš, Jonathan Narboni|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文否定了关于所有有符号平面图均为4-有符号可着色的猜想，将四色定理推广至有符号图。通过在图中巧妙布置负顶点并利用边标签约束分析其对偶图，作者构建了一个反例，证明不存在一致的2-因子，从而表明不存在有效的4-有符号着色。该结果否定了有符号图着色领域长期存在的一个猜想，并确立了最小的非4-可着色有符号平面图，其顶点数为39。

ABSTRACT

There are several ways to generalize graph coloring to signed graphs. M\'a\v{c}ajov\'a, Raspaud and \v{S}koviera introduced one of them and conjectured that in this setting, for signed planar graphs four colors are always enough, generalising thereby The Four Color Theorem. We disprove the conjecture.

研究动机与目标

• 研究四色定理是否在Mácajová、Raspaud与Škoviera提出的k-有符号着色定义下可推广至有符号平面图。
• 确定每个有符号平面图是否如[MRŠ16]中所猜想的那样，均存在4-有符号着色。
• 探讨有符号图着色与Zhu猜想中的弱列表着色之间的联系。
• 通过识别一个无法进行4-有符号着色的有符号平面图，构建对猜想1的反例。

提出的方法

• 通过使用{0, a, b}边标签，将有符号顶点着色问题转化为对偶图H上的弱有符号边标签问题。
• 基于顶点奇偶性（正/负）和度数奇偶性，定义弱有符号边标签条件，以确保与有符号着色约束的一致性。
• 利用有符号平面图与其3-连通平面对偶图之间的对偶性，将着色问题重新表述为对偶图上的标签问题。
• 通过在图中使用图特的图并设置12个负顶点，构建反例，证明其不存在一致的2-因子。
• 应用图特的片段，表明在任何一致的2-因子中，某些边必须被包含，当中心边被排除时，导致矛盾。
• 证明不存在一致的2-因子意味着不存在弱有符号边标签，从而进一步表明不存在4-有符号着色。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有符号平面图是否如Mácajová、Raspaud与Škoviera在猜想1中所声称的那样，均存在4-有符号着色？
• RQ2 其对偶图中是否存在结构性障碍，导致无法存在弱有符号边标签，从而否定有符号图的4-着色猜想？
• RQ3 能否构造一个有符号平面图，使其对偶图不存在一致的2-因子，从而在k-有符号着色模型下暗示其不可4-着色？
• RQ4 在k-有符号着色定义下，非4-可着色有符号平面图的最小规模是多少？
• RQ5 在立方平面图中，若不存在一致的2-因子，是否意味着不存在弱有符号边标签？

主要发现

• 本文构建了一个含61个顶点的有符号平面图，其不可4-有符号着色，从而否定了猜想1。
• 通过用一个7-顶点装置替换图特图中的负顶点，构建了一个含39个顶点的非4-可着色有符号三角剖分图。
• 所构建图的对偶图是一个含12个负顶点的3-连通立方平面图，其不存在一致的2-因子。
• 由于不存在一致的2-因子，因此不存在弱有符号边标签，进而表明不存在4-有符号着色。
• 该结果表明，四色定理在k-有符号着色模型下无法推广至有符号图。
• 迄今为止发现的最小非4-可着色有符号平面图含39个顶点，其来源于一个含8个负顶点的非哈密顿3-连通立方平面图，以及一个7-顶点替换装置。