[论文解读] On the action of the Steenrod algebra on the modular invariants of special linear group

Nguyễn Sum|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文计算了在奇素数 $p$ 下，特殊线性群 $SL_n$ 在 $\mathbb{Z}/p$ 上的模不变量上，Steenrod 代数的作用。利用 Milnor 的 Steenrod 代数基以及 $St^{S,R}$ 在广义 Dickson-Mui 不变量 $[k; e_{k+1}, \dots, e_n]$ 上作用的新型公式，作者推导出 Mui 不变量 $M_{n,s_1,\dots,s_k}$ 上作用的显式公式，通过基于行列式型不变量和 $p$-进展开的新代数框架，重新获得并重新解释了早期结果。

ABSTRACT

We compute the action of the Steenrod algebra on generators of algebras of invariants of special linear group ${SL_n=SL(n,\mathbb Z/p)}$ in the polynomial algebra with $ p$ an odd prime number.

研究动机与目标

• 计算奇素数 $p$ 下，Steenrod 代数 $\mathcal{A}(p)$ 在 $SL_n$ 上 $\mathbb{Z}/p$-模不变量上的作用。
• 通过使用 Milnor 基 $St^{S,R}$，将先前关于 $P^k$ 在 Dickson 和 Mui 不变量上作用的结果统一为一个公式。
• 建立不变量 $[k; e_{k+1}, \dots, e_n + s]$ 与 Dickson 不变量 $Q_{n,s}$ 之间的结构关系，实现递归计算。
• 通过基于 $p$-进索引和索引不相交划分的新代数框架，重新推导并重新表达 $P^k$ 在 Mui 不变量 $M_{n,s_1,\dots,s_k}$ 上的作用。

提出的方法

• 引入广义不变量 $[k; e_{k+1}, \dots, e_n]$，作为 $H^*(B(\mathbb{Z}/p)^n)$ 的外代数和多项式生成元中类似行列式的表达式。
• 使用 Steenrod 代数 $\mathcal{A}(p)$ 的 Milnor 基 $St^{S,R}$，其对偶为对偶代数中 $\tau_s$ 和 $\xi_i$ 的单项式。
• 通过将索引集 $\{k+1, \dots, n\}$ 的划分 $J = (J_0, \dots, J_m)$ 定义，以编码作用中指数的 $p$-进展开。
• 推导出作用公式 $St^{S,R}[k; e_{k+1}, \dots, e_n] = (-1)^{t(k-t)}[k-t, s_1, \dots, s_t, e_{k+1}+\Phi_J(k+1), \dots, e_n+\Phi_J(n)]$，当 $R = R_J$ 时成立，否则为零。
• 应用关键关系 $[k; e_{k+1}, \dots, e_n + n] = \sum_{s=0}^{n-1} (-1)^{n+s-1} [k; e_{k+1}, \dots, e_n + s] Q_{n,s}^{p^{e_n}}$，将高阶不变量表示为低阶不变量的线性组合。
• 利用该公式显式计算 $P^t M_{n,s_1,\dots,s_k}$，重新获得并重新解释了 Hung 和 Minh（2010）的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Steenrod 代数 $\mathcal{A}(p)$ 如何作用于 $SL_n$-不变量环的广义不变量 $[k; e_{k+1}, \dots, e_n]$？
• RQ2 能否使用单一代数公式统一计算 $St^{S,R}$ 在 Mui 不变量 $M_{n,s_1,\dots,s_k}$ 上的作用？
• RQ3 $[k; e_{k+1}, \dots, e_n + n]$ 与 Dickson 不变量 $Q_{n,s}$ 之间存在何种结构关系？
• RQ4 如何通过 $p$-进索引和基于划分的公式，重新推导并推广已知的 $P^t$ 在 $M_{n,s_1,\dots,s_k}$ 上的作用？
• RQ5 函数 $\Phi_J$ 和序列 $R_J = \sum_{j \in J_s} p^{e_j}$ 在确定 Steenrod 作用的支撑中起什么作用？

主要发现

• 当且仅当 $R = R_J$ 对某个 $\{k+1, \dots, n\}$ 的划分 $J$ 成立时，$St^{S,R}$ 在 $[k; e_{k+1}, \dots, e_n]$ 上的作用非零，其值为 $(-1)^{t(k-t)}[k-t, s_1, \dots, s_t, e_{k+1}+\Phi_J(k+1), \dots, e_n+\Phi_J(n)]$。
• 不变量 $[k; e_{k+1}, \dots, e_n + n]$ 可表示为 $[k; e_{k+1}, \dots, e_n + s] Q_{n,s}^{p^{e_n}}$ 关于 $s = 0, \dots, n-1$ 的线性组合，从而建立递归结构。
• $P^t = St^{\emptyset, (t)}$ 在 $M_{n,s_1,\dots,s_k}$ 上的作用非零，当且仅当 $t = \sum_{i=1}^{k+1} \frac{p^{s_i} - p^{t_i}}{p-1}$ 且满足 $s_{i-1} < t_i \leq s_i$，其结果为 Mui 不变量或 Mui 不变量与 Dickson 不变量乘积的和。
• 当 $t_{k+1} = n$ 时，结果为 $\sum_{i=1}^{k+1} (-1)^{k+1-i} M_{n,t_1,\dots,\hat{t}_i,\dots,t_{k+1}} Q_{n,t_i}$，推广了已知公式。
• 对于特殊情况 $M_{n,1,\dots,n-1} = [n-1; 0]$，$St^{S', R}$ 的作用被显式计算：当 $R = \Delta_{s_t}$ 时，其值为 $(-1)^{s_t - t} M_{s_0,\dots,\hat{s}_t,\dots,s_k}$；当 $R = \Delta_n$ 时，其值为 $Q_{n,s_t}$ 的和；否则为零。
• 本文通过基于 $p$-进索引和划分指数移位的新框架，首次直接推导出 $P^t$ 在 Mui 不变量上的作用，确认并重新解释了 Hung 和 Minh（2010）的结果。