[论文解读] On the additivity of preference aggregation methods

Łászló Csató|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Data Management and Algorithms被引用 1

一句话总结

本文研究了在存在缺失值和多重比较的广义锦标赛中偏好聚合方法的可加性。研究发现，一致性——一个关键的可加性公理——会导致不合理的无关比较独立性问题，因此提出了弱化的公理以保留有意义的排名。最小二乘法和广义行和方法在相同比较结构下保持相对排名，为传统方法（如公平投注）提供了稳健的替代方案。

ABSTRACT

The paper reviews some axioms of additivity concerning ranking methods used for generalized tournaments with possible missing values and multiple comparisons. It is shown that one of the most natural properties, called consistency, has strong links to independence of irrelevant comparisons, an axiom judged unfavourable when players have different opponents. Therefore some directions of weakening consistency are suggested, and several ranking methods, the score, generalized row sum and least squares as well as fair bets and its two variants (one of them entirely new) are analysed whether they satisfy the properties discussed. It turns out that least squares and generalized row sum with an appropriate parameter choice preserve the relative ranking of two objects if the ranking problems added have the same comparison structure.

研究动机与目标

• 研究在存在不完整和多重比较的广义锦标赛中排名方法的公理性质。
• 评估一致性公理的影响，该公理要求在组合独立锦标赛时保持相对排名的稳定性。
• 识别并评估弱化形式的可加性，以避免不合理的无关比较独立性问题。
• 在这些公理下，比较六种排名方法（得分法、广义行和法、最小二乘法、公平投注法、对偶公平投注法和柯珀兰德公平投注法）的表现。
• 根据公理性质和领域约束，为选择适当的排名程序提供建议。

提出的方法

• 使用锦标赛矩阵 T ∈ ℝⁿˣⁿ 形式化排名问题，其中 tᵢⱼ 表示对象 Xi 和 Xj 之间的综合得分。
• 引入并分析与可加性相关的五个公理：中立性（NEU）、对称性（SYM）、一致性（CS）、等价性保持（EP）和结果一致性（RCS）。
• 通过形式化证明和反例测试逻辑蕴含关系，评估各排名方法对公理的满足程度。
• 应用广义行和法，并选择参数 ε 与比赛场次数成反比，以提高鲁棒性。
• 通过改编 Herings 等（2005）的方法至公平投注法，提出一种新方法——柯珀兰德公平投注法，旨在修正已知缺陷。
• 使用可视化工具——表格和公理关系图（图9）——来描绘公理之间的依赖关系和蕴含关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 一致性公理（即在组合独立锦标赛时保持相对排名）是否会导致不合理的无关比较独立性？
• RQ2 弱化形式的可加性公理（如等价性保持（EP）或结果一致性（RCS））是否可作为完整一致性的可行替代方案？
• RQ3 在所提出的公理框架下，不同排名方法（如最小二乘法、广义行和法、公平投注法）表现如何？
• RQ4 公平投注法及其变体（对偶公平投注法、柯珀兰德公平投注法）是否即使在轮换锦标赛等受限领域中也表现出问题行为？
• RQ5 由于广义行和法或最小二乘法在相同比较结构下表现出鲁棒性，是否可推荐其作为稳定替代方案？

主要发现

• 一致性，作为自然的可加性公理，意味着无关比较的独立性，当选手面对不同对手时，这会导致问题。
• 在所分析的方法中，仅得分法满足一致性公理；其余所有方法均不满足。
• 当添加的锦标赛具有相同比较结构时，最小二乘法和广义行和法（在适当参数选择下，例如 ε ∝ 1/m(n−2)）能保持相对排名。
• 结果一致性（RCS）是一种新提出的弱化一致性形式，通过区分结果和比赛矩阵，能更好地保持排名。
• 公平投注法、对偶公平投注法和柯珀兰德公平投注法即使在轮换锦标赛中也表现出排名反转，表明其在加法下存在根本性不稳定性。
• 柯珀兰德公平投注法通过消除已知缺陷改进了公平投注法，但未能解决其他公理缺陷，如违反无关比赛独立性（IIM）原则。