[论文解读] On the Araki-Lieb-Thirring inequality

Koenraad M. R. Audenaert|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2007

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用 23

一句话总结

本文为正定矩阵的 Araki-Lieb-Thirring (ALT) 不等式建立了互补的下界，提供了 $\tr[(ABA)^{rq}]$ 的新上界，该上界以 $\tr[(A^r B^r A^r)^q]$ 和 $A$、$B$ 的算子范数表示，适用于 $0 \leq r \leq 1$，$q \geq 0$。此外，通过酉不变范数和 Schatten $p$-范数，将 ALT 不等式推广至一般矩阵，使其适用范围超越半正定算子。

ABSTRACT

We prove an inequality that complements the famous Araki-Lieb-Thirring (ALT) inequality for positive matrices $A$ and $B$, by giving a lower bound on the quantity $ race[A^r B^r A^r]^q$ in terms of $ race[ABA]^{rq}$ for $0\le r\le 1$ and $q\ge0$, whereas the ALT inequality gives an upper bound. The bound contains certain norms of $A$ and $B$ as additional ingredients and is therefore of a different nature than the Kantorovich type inequality obtained by Bourin ( extit{Math. Inequal. Appl.} extbf{8}(2005) pp. 373--378) and others. Secondly, we also prove a generalisation of the ALT inequality to general matrices.

研究动机与目标

• 通过以 $A$ 和 $B$ 的范数及 $\tr[(A^r B^r A^r)^q]$ 表示的上界，推导 Araki-Lieb-Thirring 不等式的互补不等式。
• 将 ALT 不等式从半正定矩阵推广至一般矩阵和厄米算子。
• 提供一族介于 '水' 不等式（弱）与 '酒' 不等式（强）之间的上界，其中在 $t = 1 - r$ 处取得最紧的界。
• 利用酉不变范数和 Schatten $p$-范数，为任意矩阵建立 ALT 不等式的推广。
• 通过引入与范数相关的修正项，消除原始不等式中的不对称性，使该界在所有正定矩阵上普遍适用。

提出的方法

• 利用算子范数推导一个弱上界（即 '水' 不等式）：$\tr[(ABA)^{rq}] \leq \|A\|^{2rq} \tr[B^{rq}]$，其中 $q \geq 0$，$r \geq 0$，利用 $x \mapsto x^p$ 在 $0 \leq p \leq 1$ 时的算子单调性。
• 通过在 '水' 不等式与 '酒'（ALT）不等式之间插值，构造一族改进的上界，参数为 $t \in [1 - r, 1]$，在 $t = 1 - r$ 处得到最紧的界。
• 证明了最紧的互补不等式：$\tr[(ABA)^{rq}] \leq \left(\|A\|^{2rq} \tr[B^{rq}]\right)^{1-r} \left(\tr[(A^r B^r A^r)^q]\right)^r$，其中 $0 \leq r \leq 1$，$q \geq 0$，利用插值法与范数性质。
• 通过极分解 $A = U|A|$ 将不等式推广至一般矩阵，将问题约化为 $|A|$ 的正定情形。
• 对厄米矩阵 $B$ 使用 Jordan 分解 $B = B^+ - B^-$，并应用酉不变范数不等式，将 $||| |ABA^*|^q |||$ 的上界表示为 $||| |A|^q |B|^q |A|^q |||$。
• 通过将任意矩阵嵌入分块矩阵并应用 $p$-范数三角不等式及 $|X|$ 与 $|X^*|$ 的对称性，将结果推广至任意矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以 $\tr[(A^r B^r A^r)^q]$ 和 $A$、$B$ 的范数表示 $\tr[(ABA)^{rq}]$ 的非平凡上界，从而补充 Araki-Lieb-Thirring 不等式？
• RQ2 在 '水' 不等式与原始 ALT 不等式之间，如何实现最优插值以获得最紧且普遍有效的上界？
• RQ3 如何将 Araki-Lieb-Thirring 不等式从半正定矩阵推广至一般矩阵和厄米算子？
• RQ4 酉不变范数和 Schatten $p$-范数在将不等式推广至非正定算子时起到何种作用？
• RQ5 能否通过分块矩阵嵌入和范数对称性，将不等式推广至 $B$ 非半正定时的情形？

主要发现

• 本文建立了最紧的互补不等式：$\tr[(ABA)^{rq}] \leq \left(\|A\|^{2rq} \tr[B^{rq}]\right)^{1-r} \left(\tr[(A^r B^r A^r)^q]\right)^r$，其中 $0 \leq r \leq 1$，$q \geq 0$，当 $A$ 和 $B$ 为数量矩阵时等号成立。
• '水' 不等式 $\tr[(ABA)^{rq}] \leq \|A\|^{2rq} \tr[B^{rq}]$ 虽为弱界，但作为构造更紧插值界的基础。
• 对于一般矩阵 $A$ 和 $B \geq 0$，任意酉不变范数下有 $|||(ABA^*)^q||| \leq ||| |A|^q B^q |A|^q |||$ 成立，且 $q \geq 1$，从而扩展了 ALT 不等式。
• 对于厄米矩阵 $B$，利用 Jordan 分解与范数次可加性，证明了 $||| |ABA^*|^q ||| \leq ||| |A|^q |B|^q |A|^q |||$。
• 对于任意矩阵 $A$ 和 $B$，通过分块矩阵嵌入与范数性质，得到广义不等式 $||| |ABA^*|^q ||_p \leq ||| |A|^q \frac{|B|^q + |B^*|^q}{2} |A|^q ||_p$，其中 $p, q \geq 1$。
• 所导出的界被证明是紧的，因为在标量情形下等号成立，从而验证了插值方法的紧致性。