[论文解读] On the asymptotical regularization with convex constraints for inverse problems

Min Zhong, Wei Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文针对非线性不适定反问题，提出了一种带有凸约束的渐近正则化方法，利用时间依赖的流来通过连续动力系统正则化解。在条件稳定性与p-凸性假设下，建立了收敛性与收敛速率，并通过龙格-库塔方法对ODE进行离散化，推导出新的迭代方法，包括显式与隐式Landweber型格式，且在噪声数据极限下证明了其收敛至解。

ABSTRACT

In this paper, we consider the asymptotical regularization with convex constraints for nonlinear ill-posed problems. The method allows to use non-smooth penalty terms, including the L1-like and the total variation-like penalty functionals, which are significant in reconstructing special features of solutions such as sparsity and piecewise constancy. Under certain conditions we give convergence properties of the methods. Moreover, we propose Runge-Kutta type methods to discrete the initial value problems to construct new type iterative regularization methods.

研究动机与目标

• 为具有非光滑惩罚项（如L1和总变差）的非线性反问题开发一种连续正则化框架。
• 在凸性与条件稳定性假设下，建立渐近正则化方法的收敛性。
• 在Hölder型条件稳定性与Fréchet导数Lipschitz连续性假设下，推导收敛速率。
• 提出基于龙格-库塔方法的迭代格式，作为连续正则化流的离散类比。
• 确保正则化参数（终止时间T）通过不一致性原则选取，以在存在噪声数据时保证稳定性与收敛至解。

提出的方法

• 将渐近正则化表述为一阶ODE系统：dξδ/dt = -L(xδ(t))* (F(xδ(t)) - yδ)，其中xδ(t) = ∇Θ*(ξδ(t))，初始条件为(ξδ(0), xδ(0)) = (ξ0, ∇Θ*(ξ0))。
• 利用Legendre-Fenchel共轭Θ*定义通过次微分的解更新，从而支持L1和总变差等非光滑惩罚项。
• 对惩罚泛函Θ施加p-凸性，以确保Θ*的强凸性与Fréchet可微性，从而支持稳定性与收敛性分析。
• 应用切锥条件与条件稳定性（Hölder型）推导基于Bregman距离的收敛速率。
• 采用s步龙格-库塔方法对ODE进行离散化，得到如显式与隐式Landweber型迭代格式等新迭代格式。
• 在算子G(ξ) = F′(∇Θ*(ξ))* (yδ - F(∇Θ*(ξ)))的局部Lipschitz连续性假设下，证明离散格式收敛至连续解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非线性反问题，是否可以对带有凸性与非光滑惩罚项（如L1、总变差）的渐近正则化方法进行严格分析？
• RQ2 在存在噪声数据时，何种条件可确保连续正则化路径收敛至反问题的解？
• RQ3 在不使用源条件而采用条件稳定性假设时，如何推导收敛速率？
• RQ4 是否可利用龙格-库塔方法从连续ODE构造出稳定且收敛的迭代正则化格式？
• RQ5 终止时间T在正则化过程中起何作用？应如何选择以实现最优收敛？

主要发现

• 在Θ的弱下确连续性与p-凸性假设下，渐近正则化ODE的解xδ(T)在T → ∞时收敛至B2ρ(x0)中的反问题解。
• 在条件稳定性假设DξΘ(x, x̄) ≤ RF ||F(x) - F(x̄)||ν（ν ∈ [p/2, p]）下，建立了Bregman距离Dδ_ξδ(T*)Θ( x̄, xδ(T*)) ≤ RF(τ + 1)^ν δ^ν，提供收敛速率。
• 收敛速率为O(δ^ν)，其中ν ≥ p/2，且随着更强的凸性（更大的p）与更优的稳定性常数而改善。
• ODE的龙格-库塔离散化导出了新的迭代正则化方法，包括显式与隐式Landweber型格式。
• 在算子G(ξ) = F′(∇Θ*(ξ))* (yδ - F(∇Θ*(ξ)))的局部Lipschitz连续性假设下，ODE解的存在性与唯一性得以保证。
• 连续解xδ(t)与残差||F(xδ(t)) - yδ||关于t连续，确保了正则化路径的稳定性与适定性。